Формализация теории гомотопического типа в Идрисе

Глядя на блог по теории гомотопических типов, можно легко найти множество библиотек, формализующих большую часть теории гомотопических типов в Agda и Coq.

Кто-нибудь знает, есть ли подобная попытка формализовать HoTT в Идрисе ?

proof-assistants homotopy-type-theory Джорджо Мосса
источник

Я не знаю ни о чем, и я ожидаю, что мы, вероятно, услышали бы об этом, если бы кто-то попытался (или по крайней мере, если бы они преуспели).

Майк Шульман

@MikeShulman Разве системы типов Идриса и Агды не должны быть по существу эквивалентны? В таком случае должна быть возможность формализовать HoTT в Идрисе, не так ли?

Джорджио Мосса,

Идрис больше ориентирован на программирование. Одна вещь, которая беспокоила бы меня, - имеет ли это эквивалент Агды postulateили Кок Axiom. Если да, то как ему удается с ним работать (это скомпилированный язык)? Дело в том, что аксиому однолистности нужно postulatedредактировать.

Андрей Бауэр

Я, конечно, не хотел сказать, что не думал, что это будет возможно! Я просто не знаю никого, кто пробовал это еще. Я почти ничего не знаю об Идрисе.

Майк Шульман

Я ожидаю, что Идрис позволит вам доказать аксиому К Штрейхера (уникальность доказательств идентичности) с помощью сопоставления с образцом (как это делала Агда до недавнего времени), что будет проблемой для HoTT.

Нил Кришнасвами

Ответы:

Вот небольшая, неполная и непоследовательная формализация HoTT в Idris. Это показывает, что вы можете получить противоречие в Идрисе, просто постулируя однолистность. На данный момент существует два барьера для формализации HoTT в Идрисе.

\prod_{P : X \to T y p e} \prod_{x : X} \prod_{p : x = x} \prod_{a, b : P x} (t r a n s p o r t P p a = b) \to (a = b)

$\prod_{P \,:\, X \to \mathsf{Type}}\ \prod_{x\,:\,X}\ \prod_{p \,:\, x = x}\ \prod_{a,\,b \,:\, P\, x} (\mathsf{transport}\ P\ p\ a = b) \to (a = b)$ True = False

Барьер 2: сопоставление с образцом в Идрисе слишком сильное для HoTT, как подозревал Нил Кришнасвами в комментарии выше. Мы можем вывести К. Стрейхера. Это приводит к единственности доказательств тождества и поэтому несовместимо с однолистностью. Мы можем еще раз показать True = False.

Франсиско Мота
источник