Утверждения, которые подразумевают

22

Это своего рода открытый вопрос, за который я заранее прошу прощения.

Существуют ли примеры утверждений, которые (казалось бы) не имеют ничего общего со сложностью или машинами Тьюринга, но ответ на них подразумевал бы ?PNP

Доминик ван дер Зипен
источник
4
Был бы «Не существует системы доказательств для логики высказываний, в которой каждая тавтология φ имеет доказательство полиномиальной (по длине φ ) длины». считать, или это слишком близко к сложности из-за полиномиальной границы?
Ян Йоханнсен
Так как нет «точных» ответов на мой вопрос, ваша гипотеза будет иметь значение ... Я просто ищу удивительные и разные точки зрения на проблему P против NP
Доминик ван дер Зипен
4
Я думаю, описательная сложность дает несколько примеров. Например, утверждение «существуют свойства (упорядоченных структур), которые могут быть выражены экзистенциальными формулами второго порядка, которые не могут быть выражены универсальными формулами второго порядка», эквивалентно ответу @ JanJohannsen, тогда как «существуют свойства (упорядоченных структур), которые можно выразить с помощью экзистенциальные формулы второго порядка , которые не могут быть выражены с помощью первых формул порядка с оператором наималейшим неподвижной точки»именно PNP . Это считается?
Дамиано Мазза
« N1 и P0 ». * rimshot *
Дэвид Ричерби
1
Аналогичный вопрос cstheory.stackexchange.com/questions/9806/…
Pay

Ответы:

14

Система доказательств логики высказываний называется полиномиально ограниченной , если каждая тавтология φ имеет доказательство в системе полиномов длины по длине φ .

Заявление «Там нет полиномиально ограниченная пропозициональной системы доказательств» эквивалентно с помощью классического результата Кук и Reckhow , так что подразумевает PN P .NPco-NPPNP

Ян Йоханнсен
источник
2
Я думаю, что (по определению системы пропозициональных доказательств для -полного языка тавтологий) предположение («Не существует системы доказательств для логики высказываний, в которой каждая тавтология φ имеет доказательство полинома (в длина φ ) длина ") почти идентична допущению N Pc o N P ; и , следовательно , почти идентичны при условии , N PP . coNPφφNPcoNPNPP
Иддо Цамерет
@IddoTzameret: но мы должны знать , что тавтология -полных, верно? И это не тривиально. Я предполагаю, что этот пример только подтверждает интерес к наличию «естественных» полных задач: мы можем говорить о классах сложности, не говоря явно о машинах, используемых для их определения (что, по-видимому, и задает ОП). Или, может быть, я неправильно понял ваш комментарий ...coNP
Дамиано Мазза
@Damiano, я думаю, что факт, что TAUT является coNP-полным, тривиален, в том смысле, что это подразумевается его определением и NP-полнотой SAT.
Иддо Цамерет
@IddoTzameret, хорошо, но вы согласны, что -полнота SAT не тривиальна, верно? Это по сути то, что я говорил. Я имею в виду, что между утверждением « N Pc o N P », сформулированным в терминах машин Тьюринга, и их временем выполнения и положением «нет полиномиально ограниченной системы доказательства пропозиций», я вижу нетривиальный пробел, они определенно не Выглядит "почти идентично". Этот пробел заключается в полноте TAUT или SAT, как вам угодно, но он есть. Ты не согласен? NPNPcoNP
Дамиано Мазза
1
Да, свойство « является доказательством φ » должно проверяться за полиномиальное (в | p | и | φ | ) время. И оно должно быть обоснованным и полным, т. Е. Формула должна иметь доказательство, если это тавтология. pφ|p||φ|
Ян Йоханнсен
12

Теория геометрической сложности (GCT) (также [1]) пока не упоминается. это большая амбициозная программа для соединения P против NP с алгебраической геометрией. например, краткий обзор опроса. Понимание подхода Малмулей-Сохони к P против NP , Regan:

Стабильность - это неформальное понятие «не хаотичности», которое превратилось в основную ветвь алгебраической геометрии под влиянием Д. А. Мамфорда, среди прочего. Ketan Mulmuley и Milind Sohoni [MS02] отмечают, что многие вопросы о классах сложности могут быть переформулированы как вопросы о природе групповых действий над определенными векторами в определенных пространствах, которые кодируют проблемы в этих классах. Этот обзор объясняет их структуру с точки зрения непрофессионала и пытается оценить, действительно ли этот подход добавляет новую силу атакам на вопрос «П. против НП».

также краткий обзор в разделе "Новая надежда?" в состоянии проблемы P против NP , Fortnow (2009)

Mulmuley и Sohoni свели вопрос об отсутствии алгоритмов полиномиального времени для всех NP-полных задач к вопросу о существовании алгоритма полиномиального времени (с определенными свойствами) для конкретной задачи. Это должно дать нам некоторую надежду, даже перед лицом проблем (1) - (3).

Тем не менее, Малмулей считает, что на выполнение этой программы потребуется около 100 лет, если она вообще будет работать.

[1] Объяснение теории геометрической сложности в стиле Википедии (tcs.se)

ВЗН
источник
Спасибо за привлечение GCT! Кажется, это касается моей собственной проблемы [M], но я раньше не сталкивался с ней. «Эти вычислительные проблемы могут быть охарактеризованы их симметриями. Программа нацелена на использование этих симметрий для доказательства нижних оценок».
DukeZhou
10

Следующий результат Raz (неуловимые функции и нижние границы для арифметических схем, STOC'08) нацелен на (а не непосредственно на P N P ), но он может быть достаточно близок для OP:VPVNPPNP

Полиномиальное отображение является ( s , r ) -элюзивным, если для каждого полиномиального отображения Γ : F sF m степени r , Image ( f ) Image ( Γ ).f:FnFm(s,r)Γ:FsFmrfΓ

Для многих установок параметров , явные конструкции неуловимых полиномиальных отображений подразумевают сильные (до экспоненциального) нижних границ для общих арифметических схем.n,m,s,r

Иддо Цамерет
источник
Что такое полиномиальное отображение? Вы имеете в виду "полином"? Вы имеете в виду «вычислимая функция за полиномиальное время»? Что-то другое?
DW
2
Это просто последовательность из полиномов, каждый из которых имеет одинаковые n переменных; следовательно, он определяет отображение из F n в F m . mnFnFm
Иддо Цамерет
9

есть несколько побочная / более недавно изученная область сложности, называемая сложностью графов, которая изучает, как большие графы строятся из меньших графов с использованием операций И ​​и ИЛИ ребер. У Юкны хороший опрос . в частности, с использованием единиц «звездных графов» есть ключевая теорема, см. p20 замечание 1.18 (теорема технически сильнее, чем ниже, и фактически подразумевает ):PNP/poly

Мы уже знаем (теорема 1.7), что существуют двудольные графы G сложности звезды S t a r ( G ) = ( n m / log n ) ; на самом деле, это почти все графики. С другой стороны, из леммы о сильном увеличении следует, что даже нижняя граница S t a r ( G ) ( 2 + c ) n для сколь угодно малой константы c > 0 сложности звезды в явном nn×mStar(G)=(nm/logn)Star(G)(2+c)nc>0 граф G с m = o ( n ) имел бы большие последствия в сложности схемы: такой граф дал бы явную булеву функцию f G, требующую схемы экспоненциального (в числе log 2 n m переменных) размера! (Напомним, что для булевых функций даже суперлинейные нижние оценки пока неизвестны.) В частности, если граф G таков, что смежность вершин в G может быть определена недетерминированной машиной Тьюринга, работающей во временном полиноме в двоичная длина l o g 2n×mGm=o(n)fGlog2nmGG кодов вершин, то нижняя грань S т в р ( G ) ( 2 + с ) п при сколь угодно малой постоянной с > 0 будет означатьчто P N P . Таким образом, звездная сложность графов охватывает одну из самых фундаментальных проблем информатики.log2nStar(G)(2+c)nc>0PNP

ВЗН
источник
6
Я думаю , что вы имеете в виду . Утверждение P N P / p o l y уже тривиально известно. P/polyNPPNP/poly
Йонатан N
@YonatanN верно? PNP/poly
Т ....
Ага. Известно, что даже P / poly содержит проблемы вне P, такие как унарная проблема остановки.
Йонатан N
Спасибо за ссылку Jukna! «Сложность - одно из важнейших научных явлений нашего времени. В этой главе мы рассмотрим сложность графиков».
DukeZhou
1

Как насчет Филиппа Маймина

« Рынки эффективны тогда и только тогда, когда утверждают P = NP »?

RB
источник
3
Утверждения и «доказательства» в этой статье не выглядят строгими, и аргументы кажутся мне недостающими. Вы читали эту статью?
Рахул Савани
Я прошел через это, и я согласен, что методология не настолько убедительна, поэтому я назвал это «требованием», а не результатом.
РБ
5
И это написано в Microsoft Word: /
гигабайты
0

Функциональные аналоги и N P ; F P и F N P также были бы интересны в их изучении P =PNPFPFNPP = вопроса N P (?). В то время как P и N P являются проблемами решения, которые возвращают 1- битныйответда / нет, F P и F N P фактически возвращают ответы ( F N P проверяет ответы). Мы знаем, что F P = F N P , если P =NPPNP1FPFNPFNPFP = FNPP = . NP

user3483902
источник