Рассмотрим язык different состоящий из всех строк k- букв над Σ, таких, что никакие две буквы не равны:L k - d i s t i n c t
L k - d i s t i n c t : = { w = σ 1 σ 2 . , , σ к | ∀ я ∈ [ к ] : σ я ∈ Е и ∀ J ≠ я : σ J ≠ σ я }
Этот язык конечен и поэтому регулярен. В частности, если | Σ | = n
Какой самый маленький недетерминированный конечный автомат принимает этот язык?
В настоящее время у меня есть следующие свободные верхние и нижние границы:
Наименьший NFA, который я могу построить, имеет состояний.4k(1+o(1))⋅polylog(n)
4k(1+o(1))⋅polylog(n) Следующая лемма подразумевает нижнюю оценку состояний:2k
2k
Пусть L⊆Σ∗
L⊆Σ∗ регулярный язык. Предположим, что существует nn пар P={(xi,wi)∣1≤i≤n}P={(xi,wi)∣1≤i≤n} таких что xi⋅wj∈Lxi⋅wj∈L тогда и только тогда, когда i=ji=j . Тогда любой NFA, принимающий L, имеет как минимум n состояний.
- Другая (тривиальная) нижняя граница - это log
log (nk)(nk) , которая представляет собой журнал размера наименьшего DFA для языка.
Меня также интересуют NFA, которые принимают только фиксированную дробь ( 0<ϵ<1
Редактировать: я только что начал щедрость с ошибкой в тексте.
Я имел в виду, что мы можем предположить, что k=polylog(n)
Edit2:
Награда скоро закончится, поэтому, если кто-то заинтересован в том, что, возможно, является более простым способом заработка, рассмотрите следующий язык:
L(r,k)−distinct:={w:w
(т. е. L(1,k)−distinct=Lk−distinct
Конструкция, аналогичная описанной в комментариях, дает автомат размером с для ,O(ek⋅2k⋅log(1+r)⋅poly(n))
Можно ли это улучшить? Какую лучшую нижнюю границу мы можем показать для этого языка?
Ответы:
Это не ответ, а метод, который, я считаю, оставил бы более низкую оценку. Разрежет проблему после букву читается. Обозначим семейство элемент множеств по и семейство элементов из множества с помощью . Обозначим состояния, которые могут быть достигнуты после считывания элементов (в любом порядке) с помощью и состояния, из которых можно достичь принимающего состояния после считывания элементов (в любом порядке) с помощью . Нам нужен этот тогда и только тогда, когдаaa aa [n][n] AA b=k−ab=k−a [n][n] BB AA SASA BB TBTB SA∩TB≠∅SA∩TB≠∅ A∩B=∅A∩B=∅ . Это уже дает нижнюю границу для необходимого количества состояний, и я думаю, что это может дать что-то нетривиальное.
Эта проблема, по существу, требует нижней границы числа вершин гиперграфа, линейный граф которого (частично) известен. Подобные проблемы были изучены, например, Боллобасом, и есть несколько известных методов доказательства, которые могут быть полезны.
Обновление 2014.03.24: Фактически, если вышеупомянутый гиперграф может быть реализован на вершинах, то мы также получаем недетерминированный протокол сложности связи длины для множества несвязных с входными наборами размеров и (фактически два проблемы эквивалентны). Узким местом является, конечно, когда , для этого я мог найти только следующее в книге Эяля и Ноама: доказано стандартным вероятностным аргументом. К сожалению, я не смог (пока) найти достаточно хорошие нижние оценки для этой проблемы, но, предполагая, что вышеупомянутое является точным, это дало бы нижнюю оценкуss logslogs aa bb a=b=k/2a=b=k/2 N1(DISJa)≤log(2kloge(na))N1(DISJa)≤log(2kloge(na)) Ω(2klogn)Ω(2klogn) объединяя две нижние границы, которые вы упомянули.
источник
Некоторая работа в процессе:
Я пытаюсь доказать нижнюю границу . Вот вопрос, который, я уверен, даст такую нижнюю границу: найдите минимум такой, что существует функция который сохраняет дизъюнктность, т. Что если . Я почти уверен, что нижняя граница почти сразу подразумевает нижнюю границу для нашей задачи. примерно соответствует набору узлов, к которому NFA может добраться после считывания первых символов ввода, когда набор этих4k4k tt f:{S⊆[n],|S|=k/2}→{0,1}tf:{S⊆[n],|S|=k/2}→{0,1}t S1∩S2=∅S1∩S2=∅ f(S1)∩f(S2)=∅f(S1)∩f(S2)=∅ t≥2kt≥2k 22k=4k22k=4k f(S)f(S) k/2k/2 k/2k/2 символы .SS
Я думаю, что решение этого вопроса уже может быть известно либо в литературе по сложности коммуникации (особенно в статьях, посвященных проблеме несвязности; может быть, помогут некоторые аргументы матричного ранга), либо в литературе о кодировках (например, вот так ).
источник