Вот несколько теоретических следствий равенства FP = # P, хотя они не имеют ничего общего с искусственным интеллектом. Предположение FP = # P эквивалентно P = PP , поэтому позвольте мне использовать последнее обозначение.
Если P = PP, то P = BQP : квантовое вычисление за полиномиальное время может быть смоделировано классическим детерминированным вычислением за полиномиальное время. Это является прямым следствием BQP⊆PP [ADH97, FR98] (и более раннего результата BQP⊆P PP [BV97]). Насколько мне известно, P = BQP, как известно, не следует из предположения P = NP. Эта ситуация отличается от случая рандомизированных вычислений ( BPP ): поскольку BPP⊆NP NP [Lau83], равенство P = BPP следует из P = NP.
Другое следствие P = PP состоит в том, что модель вычисления Блюма-Шуб-Смейла по вещественным числам с рациональными константами в определенном смысле эквивалентна машинам Тьюринга. Точнее, P = PP означает P = BP (P ℝ 0 ); то есть, если язык L ⊆ {0,1} * разрешим с помощью программы без констант по реалам за полиномиальное время, то L разрешим с помощью машины Тьюринга за полиномиальное время. (Здесь «BP» означает «логическая часть» и не имеет ничего общего с BPP.) Это следует из BP (P ℝ 0 ) ⊆ CH [ABKM09]. См. Статью для определений. Важной проблемой в BP (P ℝ 0 ) является проблема суммы квадратови друзья (например, «Учитывая целое число k и конечный набор целочисленных координатных точек на плоскости, существует ли остовное дерево общей длины не более k ?») [Tiw92].
Аналогично второму аргументу, проблема вычисления конкретного бита в x y, когда положительные целые числа x и y заданы в двоичном виде, будет в P, если P = PP.
Ссылки
[ABKM09] Эрик Аллендер, Питер Бюргиссер, Йохан Кьельдгаард-Педерсен и Питер Бро Мильтерсен. По сложности численного анализа. SIAM Journal of Computing , 38 (5): 1987–2006, январь 2009 г. http://dx.doi.org/10.1137/070697926
[ADH97] Леонард М. Адлеман, Джонатан Де Маррай и Минг-Де А. Хуан. Квантовая вычислимость. Журнал SIAM по вычислительной технике , 26 (5): 1524–1540, октябрь 1997 г. http://dx.doi.org/10.1137/S0097539795293639
[BV97] Итан Бернштейн и Умеш Вазирани. Квантовая теория сложности. Журнал SIAM по вычислительной технике , 26 (5): 1411–1473, октябрь 1997 г. http://dx.doi.org/10.1137/S0097539796300921
[FR98] Лэнс Фортноу и Джон Роджерс. Ограничения сложности квантовых вычислений. Журнал компьютерных и системных наук , 59 (2): 240–252, октябрь 1999 г. http://dx.doi.org/10.1006/jcss.1999.1651
[Lau83] Клеменс Лаутеманн. BPP и полиномиальная иерархия времени. Письма для обработки информации , 17 (4): 215–217, ноябрь 1983 г. http://dx.doi.org/10.1016/0020-0190(83)90044-3
[Tiw92] Прасун Тивари. Проблема, которую легче решить на алгебраической оперативной памяти с удельной стоимостью. Журнал Сложности , 8 (4): 393–397, декабрь 1992 года. Http://dx.doi.org/10.1016/0885-064X(92)90003-T
В графических моделях многие из проблем оценки # P-полны, потому что они включают в себя вычисления суммы произведений а-ля перманента по общим графам. Если #P = FP, то графические модели внезапно становятся намного проще, и нам больше не нужно возиться с моделями с малой шириной.
источник
Тода доказал, что любая проблема в иерархии полиномиального времени может быть сведена к функции #P. Формально он доказал, что . Таким образом, если тогда рухнет, и, следовательно, у тавтологий будут короткие доказательства.PH⊆P#P ♯P=FP PH
источник