Точная сложность проблемы в

Позволять $x_i \in \{-1,0,+1\}$ за $i \in \{1,\ldots,n\}$с обещанием, что $x = \sum_{i=1}^n{x_i} \in \{0,1\}$ (где сумма закончилась $\mathbb{Z}$). Тогда какова сложность определения, если$x = 1$?

Обратите внимание, что тривиально проблема заключается в $\cap_{m \geq 2}{\mathsf{AC}^0[m]}$ потому что $x \equiv 1\bmod{m}$если . Вопрос в том, заключается ли проблема в ? Если так, то что за схема свидетельствует об этом? Если нет, то как это доказать?$x = 1$$\mathsf{AC}^0$

Вы можете использовать обычный аргумент переключения леммы. Вы не объяснили, как вы представляете свои входные данные в двоичном формате, но при любой разумной кодировке следующая функция AC -эквивалентна вашей функции: (мы предполагаем, что четное.) Следуя этим примечаниям к лекции , предположим, что можно вычислить с помощью схемы глубины размера . Тогда случайное ограничение входов оставляет функцию сложности дерева решений не более$^0$

$$f(x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} 0 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 0, \\ 1 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 1, \\ ? & \text{otherwise.} \end{cases}$$ $n$$f$$d$$n^b$$n - n^{1/2^d}$$2^d(b+1)+1$ с вероятностью не менее . Расчет, вероятно, покажет, что это еще один экземпляр (с меньшим входным размером) с вероятностью , и поэтому существует некоторое случайное ограничение, которое выдает оба экземпляра на входов и функция с постоянной сложностью дерева решений, приводящая к противоречию. Тот же аргумент должен давать экспоненциальные нижние оценки.$1-1/(3n)$$f$$\Theta(1/\sqrt{n})$$f$$n^{1/2^d}$

Я не думаю, что это в AC0, и я могу показать нижнюю границу для связанной задачи обещания различения между и , когда . Подобные методы Фурье должны применяться к вашей проблеме, но я не проверял это. Или, может быть, есть простое сокращение.$\sum x_i = 0$$\sum x_i = 2$$x \in \{-1, 1\}^n$

Предположим, что существует схема глубины размера , которая вычисляет функцию такую, что всякий раз, когда . Потому что для случайного вероятность того, что равна , и для каждого такого существует координаты, которые меняют значение , общее влияние равно$s$$d$$f: \{-1, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$$f(x) = \sum_i x_i$$\sum_i x_i \in \{0,2\}$$x$$\sum_i x_i = 0$$2^{-n} {n \choose n/2} \approx n^{-1/2}$$x$$n/2$$f$$f$$\Omega(n^{1/2})$, что примерно так же, как большинство (потому что вы включили большинство чувствительных входных данных большинства). По теореме Хастада (см. Colorraly 2.5 в заметках Райана О'Доннела ) это означает, что

$$s \geq 2^{\Omega(n^{1/(2d-2)})}.$$