Мне известны только два доказательства леммы Шварца – Циппеля. Первое (более распространенное) доказательство описано в записи википедии . Второе доказательство открыл Дана Мошковиц.
Есть ли другие доказательства, которые используют существенно разные идеи?
Ответы:
Вот еще одна идея, которая у меня была для геометрического доказательства. Он использует проективную геометрию существенным образом.
Пусть аффинная точка вне гиперповерхности . Спроецируйте гиперповерхность на гиперплоскость на бесконечности, используя качестве центра; то есть, отображаем каждое на , пересечение единственной прямой через и с гиперплоскостью на бесконечности. Все прообразы под точки на бесконечности лежат на одной прямой, и поэтому (снова сводя задачу к размерности 1) их большинство . Гиперплоскость на бесконечности имеет мощность, поэтому мы получаем знакомую верхнюю границу, S c x ∈ S p ( x ) c x p d | F m - 1 | | S | ≤ d | F m - 1 |c ∈ Fм S с x ∈ S р ( х ) с Икс п d | Fм - 1| | S| ≤d | Fм - 1|
источник
В качестве продолжения ответа Пера Вогсена доказательство Даны Мошковиц уже предлагает действительно легкое доказательство только для чуть более слабой версии леммы Шварца-Циппеля, которая, как мне кажется, достаточна для большинства приложений.
Пусть - ненулевой многочлен степени , где - конечное поле порядка , и пусть быть точкой такой, что . Есть много различных прямых, проходящих через , так что они разделяют . Ограничение функции на каждую из этих линий является многомерным многочленом степени , который отличен от нуля, поскольку он ненулевой в и, следовательно, имеет не более нулей. Таким образом, общее количество нулей d F q x ∈ F n f ( x ) ≠ 0 ( q n - 1 ) / ( q - 1 ) x F n - { x } f d x d f d ( q n - 1 ) / ( q - 1 ) d q n - 1е: FN→ F d F Q x ∈ FN е( х ) ≠ 0 ( дN- 1 ) / ( q- 1 ) Икс FN- { х } е d x d f самое большее . Шварц-Циппель, для сравнения, дает более сильную верхнюю границу .d(qn−1)/(q−1) dqn−1
Учитывая легкость этого доказательства, я уверен, что это фольклор; если нет, то должно быть :) Я был бы признателен, если бы кто-то мог предоставить ссылку.
источник
Доказательство Мошковица основано на простой геометрии, но в статье не слишком ясно об этом. Вот идея:
Степень полинома от m переменных вырезает гиперповерхность в F m . Пересечение гиперповерхности и независимой линии (т. Е. Пересечение не является всей линией) имеет не более d точек. Если вы можете найти направление, которое не зависит от гиперповерхности, вы можете расслоить F m параллельными линиями в этом направлении и считать пересечения в каждой линии. Слоение параметризовано ортогональным дополнением направления, которое является гиперплоскостью, изоморфной F m - 1 , поэтому общее число точек гиперповерхности по всей F m не превосходит d | Fd m Fm Fm Fm−1 Fm .d |F|m−1
Это говорит о том, что другие доказательства в том же духе могут работать.
Редактировать: я хотел бы немного рассказать о том, как доказательства Арнаба связаны с доказательством Мошковица. Он берет точку вне гиперповерхности и рассматривает пучок линий через эту точку. Мошковиц рассматривает семейство параллельных линий. Это кажется другим, но это действительно одно и то же! Параллельное семейство - это пучок линий через точку на бесконечности. Алгебра Арнаба применяет дословно, если вы сначала берете гомогенизацию многочлена и ограничиваетесь гиперплоскостью на бесконечности, вставляя , что уничтожает все не ведущие члены.w=0
Изменить: см. Мой другой ответ для нового (но не полностью несвязанного) доказательства.
источник
Попытка 1:
Вы смотрели на лемму А.36 (стр. 529) книги Ароры / Барака ? Это почти половина страницы, и основано на индукции.
Если у вас нет доступа к книге, я могу привести доказательства здесь.
Попытка 2:
Как насчет Любопытной Истории Леммы Шварца-Циппеля ? Среди прочих, он цитирует статью ДеМилло-Липтона , датируемую 1977 годом. Несколько других статей также названы и сравнены.
Попытка 3:
Также может представлять интерес следующая тема MathOverflow: P / poly алгоритм для проверки полиномиальной идентичности .
источник
Лемма Шварца-Циппеля является частным случаем теоремы Ноги Алона и Золтана Фюреди, как показано в разделе 4 этой статьи: « О нулях многочлена в конечной сетке , и, следовательно, любое новое доказательство этой теоремы дает новое доказательство Шварца». -Zippel. На данный момент я знаю шесть различных доказательств, два из которых появляются в статье, а другие упоминаются там.
Теорема Алона-Фуреди гласит следующее:
В этом случае, если вы предполагаете и отрабатываете минимум (который можно легко сделать, используя материал Balls in Bins, упомянутый в статье), вы получите лемму Шварца-Циппеля над полем ( домен).degf<min#Ai
источник
Первоначальная формулировка леммы Шварца – Циппеля относится только к полям:
Можно переформулировать лемму так, чтобы она имела смысл для произвольных коммутативных колец:
Преимущество доказательства из Википедии состоит в том, что оно обобщает, чтобы показать, что переформулировка верна для произвольных коммутативных колец, что было замечено и разработано Эмилем Йержабеком здесь .
Это дает альтернативное доказательство леммы Шварца-Циппеля, доказывая переформулировку для общих коммутативных колец и получая нормальную формулировку для полей в качестве следствия.
источник