Знается ли / изучена ли эта совершенная информационная игра на графиках?
Учитывая график , два игрока поочередно выбирают ребро или изолированный узел. Если игрок выбирает ребро два узла и удаляются вместе с их падающими ребрами. Если игрок выбирает изолированный узел, узел удаляется. Первый игрок, который не может двигаться, проигрывает.
В чем сложность поиска победителя?
Есть ссылки на похожие игры?
reference-request
combinatorial-game-theory
Марцио де Биаси
источник
источник
Ответы:
Я выкладываю обновление в качестве самостоятельного ответа только для того, чтобы отличать его от вопроса ( который все еще открыт ).
Как показано в комментариях (спасибо Tsuyoshi Ito), проблема разрешима для путей за полиномиальное время:
если ( n mod 34 ) ∈ { 3 , 7 , 23 , 27 }Wя н ( ПN) = 1 (nmod34)∈{3,7,23,27}
Начиная с 0 (вычисленная) последовательность значений nim является периодической:
Я не работал над строгим математическим доказательством, но идея такова:
предположим, что мы хотим вычислить элемент , то первый ход (выбрать ребро) может разбить путь на ⌈ n / 2 ⌉ различными способами (n-2,0), (n-3,1), ( п-4,2), ...). Новое значение nim равно:Win(Pn),n=k∗34+x(k≥4,0≤x<34) ⌈n/2⌉
Первые 34 элементов множества получают путем первой не повторяющейся последовательность (0,1,1,0, ...) (NIM) суммируется с элементами повторяющейся последовательности в обратном порядке , начиная с элемента .( 34 - 2 - х ) мод 34
Например: для :х = 0
Для x = 0..33 результирующая мекс-последовательность равна повторяющейся последовательности:
Остальные элементы множества являются рассчитывается по формуле только на повторяющейся последовательности (ы): (для J ≥ 34 в пары повторяются, поэтому они не изменяют результат mex). Результирующая последовательность mex для x = 0..33:r s e q[ j mod 34 ] + r s e q[ ( 34 - 2 - x - j ) мод 34 ] j ≥ 34
Который равен повторяющейся последовательности, за исключением и x = 33 ; но значения ниже, чем соответствующий мекс в неповторяющейся последовательности, поэтому:х = 16 х = 33
= m e x { P n - 2 + P 0 , P n - 3 + P 1 ,м е х { Пп - 2+ P0, Pn - 3+ P1, . , , , P⌈ n / 2 ⌉+ Pn - ⌈ n / 2 ⌉} м е х { Пп - 2+ P0, Pn - 3+ P1, . , , , Pn - 2 - 33+ P33}
и , Ш я п ( Р к * 34 + х ) = Ш я п ( Р 34 + х ) = Ш я п ( Р х )( k ≥ 4 , 0 ≤ x < 34 ) Wя н ( Пk ∗ 34 + x) = Wя н ( П34 + х) = Wя н ( ПИкс)
источник