Выигрышная стратегия игры удаления «ребро или изолированная вершина»

11

Знается ли / изучена ли эта совершенная информационная игра на графиках?

Учитывая график , два игрока поочередно выбирают ребро или изолированный узел. Если игрок выбирает ребро два узла и удаляются вместе с их падающими ребрами. Если игрок выбирает изолированный узел, узел удаляется. Первый игрок, который не может двигаться, проигрывает. граммзнак равно(В,Е)езнак равно(U,v)Uv

В чем сложность поиска победителя?

Есть ссылки на похожие игры?

Марцио де Биаси
источник
1
Я предполагаю, что изолированный узел удаляется, если выбран? Если это так, игрок 0 выигрывает также на всех непустых путях, тратя первый ход, разделяя задачу на две равные составляющие, а затем отражая ход противников на противоположной составляющей, чтобы сохранить изоморфизм. Это подразумевает, что игрок 1 выигрывает в цикле, так как первый ход уменьшает проблему до пути.
Йонатан N
2
@YonatanN: да, изолированный узел можно выбрать (и удалить); но стратегия симметрии работает на путях четной длины (игрок 0 выбирает 2 центральных узла первым ходом, затем отражает ходы игрока 1), но не на путях нечетной длины: попытайтесь применить стратегию к пути длины 11, и это не работает (действительно, для пути длиной 11 победителем является игрок 1).
Марцио Де Биаси
5
@Marzio De Biasi: извините, но когда я играю в хорошие игры, я обычно играю вручную. Если я не допустил ошибок, у игрока 0 есть выигрышная стратегия: обратите внимание: a) для P1, P2, P5 и P8 игрок 0 всегда выигрывает б) для P3 и P7 игрок 1 всегда выигрывает. c) для P4 и P6 игрок 0 может решить выиграть или проиграть. Теперь в случае P11: - Нумеровать узлы P11 с помощью v1, v2, ... v11. - Игрок 0 берет ребро v9, v10, а остальное - изолированные узлы v11 и P8. Если игрок 1 берет v11, игрок 0 выиграет, потому что у него четный путь. В противном случае игрок 0 победит а), б) и в).
user13136
1
Согласно моей программе , значения n≤100 такие, что первый игрок проигрывает в игре на пути с n вершинами, равны 3, 7, 23, 27, 37, 41, 57, 61, 71, 75, 91, и 95. К сожалению, я не вижу никаких паттернов, кроме странных (которые уже были известны), и OEIS не показывает никаких совпадений.
Цуёси Ито
1
@TsuyoshiIto: ... возьмите попарную разницу: (3 7) (23 27) (37 41) (57 61) (71 75) (91 95) и вы получите 4 4 4 4 4 4 ... кажется, шаблон :-) .... (3 ... 23) ... (37 ... 57) ... (71 ... 91) и вы получите 20 20 20 ... еще один! :-D
Марцио Де Биаси

Ответы:

2

Я выкладываю обновление в качестве самостоятельного ответа только для того, чтобы отличать его от вопроса ( который все еще открыт ).

Как показано в комментариях (спасибо Tsuyoshi Ito), проблема разрешима для путей за полиномиальное время:

если ( n mod 34 ) { 3 , 7 , 23 , 27 }WяN(пN)знак равно1(nmod34){3,7,23,27}

Начиная с 0 (вычисленная) последовательность значений nim является периодической:

0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
...
the subsequence rseq of length 34:
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6
is repeated

Я не работал над строгим математическим доказательством, но идея такова:

предположим, что мы хотим вычислить элемент , то первый ход (выбрать ребро) может разбить путь наn / 2 различными способами (n-2,0), (n-3,1), ( п-4,2), ...). Новое значение nim равно:Win(Pn),n=k34+x(k4,0x<34)n/2

меИкс{пN-2+п0,пN-3+п1,,,,,пN/2+пN-N/2}

Первые 34 элементов множества получают путем первой не повторяющейся последовательность (0,1,1,0, ...) (NIM) суммируется с элементами повторяющейся последовательности в обратном порядке , начиная с элемента .(34-2-Икс)модификация34

Например: для :Иксзнак равно0

     0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6 +
     3,4,4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,7,5,4,4,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,6 =
mex{ 3,5,5,1,3,1,1,1,2,1,2,3,1,1,6,6,0,7,6,1,1,3,2,1,2,1,1,1,3,1,5,5,6,0 } = 4

Для x = 0..33 результирующая мекс-последовательность равна повторяющейся последовательности:

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6

Остальные элементы множества являются рассчитывается по формуле только на повторяющейся последовательности (ы): (для J 34 в пары повторяются, поэтому они не изменяют результат mex). Результирующая последовательность mex для x = 0..33:рsеQ[Jмодификация34]+рsеQ[(34-2-Икс-J)модификация34]J34

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,4,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,4,

Который равен повторяющейся последовательности, за исключением и x = 33 ; но значения ниже, чем соответствующий мекс в неповторяющейся последовательности, поэтому:Иксзнак равно16Иксзнак равно33

= m e x { P n - 2 + P 0 , P n - 3 + P 1 ,меИкс{пN-2+п0,пN-3+п1,,,,,пN/2+пN-N/2}меИкс{пN-2+п0,пN-3+п1,,,,,пN-2-33+п33}

и , Ш я п ( Р к * 34 + х ) = Ш я п ( Р 34 + х ) = Ш я п ( Р х )(К4,0Икс<34)WяN(пК*34+Икс)знак равноWяN(п34+Икс)знак равноWяN(пИкс)

Марцио де Биаси
источник
Согласно моим подсчетам, у первого игрока есть выигрышная стратегия для , что дает контрпример к вашему требованию W i n ( P n ) = 1 тогда и только тогда ( n)п23WяN(пN)знак равно1 . (Nмодификация34){3,7,23,27}
user13136
п23
п0п23
Извините, мне пора уходить.
user13136
(N17,N18)(N5,N6)(N11,N12)(N1,N2)