Сложность подсчета путей в графе

12

Дан ориентированный граф с n узлами, такими, что каждая вершина имеет ровно два исходящих ребра, и натуральное число N, закодированное в двоичном виде, две вершины s и t,

Я хочу посчитать количество (не обязательно простых) путей от s до t в течение N шагов.

Это # P-сложная проблема? Или вообще, в чем сложность этой проблемы?

Maomao
источник
6
Вы пробовали питание матрицы?
Юваль Фильмус
1
да, но сложность до сих пор не известна, насколько я вижу.
Maomao
Должна ли прогулка заканчиваться в t или просто посетить t в какой-то момент прогулки?
Тайсон Уильямс
это должно закончиться в т.
Maomao
1
@Geekster Для полного орграфа на 3 вершинах с счетом является N-е число Фибоначчи, размер которого экспоненциально по N, так же, как Дэвид утверждал в своем ответе для любого графа. st
Тайсон Уильямс

Ответы:

13

Выходное число путей может быть (выберите произвольно, а затем выберите в качестве вершины, которая является конечной точкой наибольшего числа прогулок из ), для которого требуетсяs t 2 N s Ω ( N )Ω(2N/n)st2NsΩ(N)биты для записи в явном виде; это экспоненциально в размере ввода. С другой стороны, подход питания матрицы имеет многочлен сложности по сумме входных и выходных размеров. Так что это, кажется, помещает это прямо в класс подсчета проблем, которые имеют выход экспоненциального размера и могут быть решены детерминистически по полиному времени по их размеру вывода, какой бы ни была запись для этого класса (это своего рода аналог подсчета для EXP, и определенно не #EXP, который более аналогичен NEXP).

Дэвид Эппштейн
источник
1
спасибо, но я все еще хочу знать, является ли эта проблема . P
Maomao
1
Чтобы избежать больших чисел в методе повторного возведения в квадрат Дэвида, мы можем выполнять все вычисления по модулю простого числа p. Тогда общий алгоритм выполняется по полиному времени от . Если бы проблема была # P-трудной при многократном сокращении за полиномиальное время, алгоритм с подразумевал бы P = P, в который мы не верим. p = 2 n+logN+logpp=2
Хольгер
@ Хольгер, неужели подобный аргумент не будет иметь место для Перманента? то есть, если Permanent является # P-hard, то Perm mod 2 будет P hard. Но Perm mod 2 = Det mod 2, который есть в P.
SamiD
@SamiD: Точно, ваш аргумент показывает, что перманент, вероятно, не # P-hard при скупых сокращениях. Известные доказательства используют сокращения Тьюринга.
Хольгер
@ Хольгер, я согласен. Извините, я пропустил скупую много-одну часть. Таким образом, проблема питания матрицы может быть очень сложной при сокращениях по Тьюрингу.
SamiD
4

Нахождение бита где - матрица смежности данного графа, сводится к задаче определенной сначала в [ABKPM], для которой установлена нижняя граница в той же газете. Однако ли сокращение в обратном направлении, то есть с на проблему питания матрицы, открытым AFAIK.Б я т S L P # P B I т S L PAN[s,t]ABitSLP#PBitSLP

BitSLPCHPSPACEPHPPPPPP

SamiD
источник
1

N=NNN1

2

Мики Герман
источник
2
Первоначальная проблема не требует, чтобы путь был простым, поэтому я не думаю, что ответ правильный.
Maomao
3
Как это может быть # P-complete, если у всех #P задач есть числа решений, которые являются экспоненциальными по размеру ввода, а эта двойная экспонента?
Дэвид Эппштейн
Что означает «ND31» в контексте книги Гэри и Джонсона?
Тайсон Уильямс