Емкость Уникально Решаемой Головоломки (USP)

В своей основополагающей работе Теоретико-групповые алгоритмы для умножения матриц Кон, Кляйнберг, Сегеди и Уманс вводят концепцию однозначно решаемой головоломки (определено ниже) и емкость USP. Они утверждают, что Копперсмит и Виноград, в своих собственных новаторских работах по умножению матриц с помощью арифметических прогрессий , «неявно» доказывают, что емкость USP составляет . Это утверждение повторяется в нескольких других местах (в том числе и здесь), но нигде нет объяснения. Ниже мое собственное понимание того, что доказывают Копперсмит и Виноград, и почему этого недостаточно.$3/2^{2/3}$

Правда ли, что пропускная способность USP составляет ? Если да, есть ли ссылка на доказательство?$3/2^{2/3}$

Уникально решаемые головоломки

Уникально разрешимая головоломка (USP) длиной и шириной состоит из подмножества размера , которое мы также рассматриваем как три набора из «кусочков» (соответствующих места, где векторы равны , места, где они равны , и места, где они равны ), удовлетворяющие следующему свойству. Предположим, мы расположили все фигуры в строках. Тогда должен быть уникальный способ поместить другие части, по одному каждого типа в каждую строку, чтобы они «подходили».$n$$k$$\{1,2,3\}^k$$n$$n$$1$$2$$3$$1$$n$

Пусть - максимальная длина USP ширины . Емкость USP , является В USP каждая из частей должна быть уникальной - это означает, что никакие две строки не содержат символ в одинаковых местах. Это показывает (после короткого спора), что и т. д. ,$N(k)$$k$

$$\kappa = \sup_k N(k)^{1/k}.$$ $c \in \{1,2,3\}$ $$N(k) \leq \sum_{a+b+c=k} \min \left\{ \binom{k}{a}, \binom{k}{b}, \binom{k}{c} \right\} \leq \binom{k+2}{2} \binom{k}{k/3},$$ $\kappa \leq 3/2^{2/3}$

Пример (USP длины и ширины ): Не пример длины и ширины , где - и части могут быть расположены двумя различными способами: $4$$4$

$$\begin{align*} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{align*}$$ $3$$3$$2$$3$ $$\begin{align*} 123 && 132 \\ 231 && 321 \\ 312 && 213 \end{align*}$$

Игры пазлы Медник-Виноград

Головоломка Копперсмита-Винограда (CWP) длиной и шириной состоит из подмножества размером размера в котором «кусочки» уникальны - для любых двух и , (Они представляют это несколько иначе.)$n$$k$$S$$\{1,2,3\}^k$$n$$a \neq b \in S$$c \in \{1,2,3\}$

$$\{ i \in [k] : a_i = c \} \neq \{ i \in [k] : b_i = c \}.$$

Каждый USP - это CWP (как мы прокомментировали выше), поэтому емкость CWP удовлетворяет . Выше мы отметили, что . Копперсмит и Виноград показали, используя сложный аргумент, что . Их аргумент был упрощен Штрассеном (см. Теорию алгебраической сложности ). Мы нарисуем простое доказательство ниже.$\lambda$$\lambda \geq \kappa$$\lambda \leq 3/2^{2/3}$$\lambda = 3/2^{2/3}$

Для заданного пусть состоит из всех векторов, содержащих каждый из с, с, с. Для пусть состоит из всех пар таких что , и положить . Каждое независимое множество в графе является CWP. Хорошо известно, что каждый граф имеет независимый набор размеров(доказательство: выберите каждую вершину с вероятностью и удалите одну вершину из каждого оставшегося ребра). В нашем случае $k$$V$$k/3$$1$$2$$3$$c \in \{1,2,3\}$$E_c$$a,b \in V$$\{ i \in [k] : a_i = c \} = \{ i \in [k] : b_i = c \}$$E = E_1 \cup E_2 \cup E_3$$G = (V,E)$$|V|^2/4|E|$$|V|/2|E|$

$$|V| = \binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}, \quad |E| \leq 3|E_1| = \frac{3}{2}\binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}^2.$$ Следовательно, $$\frac{|V|^2}{4|E|} = \frac{1}{6} \binom{k}{k/3} \Longrightarrow \lambda \geq \frac{3}{2^{2/3}}.$$

Как и многие другие вопросы, ответ на этот вопрос можно найти в диссертации Стозерса. Местный USP является НВП , в котором единственный способ , в котором 1-часть, 2- х частей и 3- х частей может поместиться вместе , если их объединение в . Ясно, что местная USP - это USP, и конструкция из [CKSU] показывает, что емкость USP достигается местными USP (мы собираемся показать это конструктивно).$S$

Копперсмит и Виноград строят почти 2-х независимое распределение на 2 V со следующими двумя свойствами: (1) Pr [ x ∈ S ] = ( | V | / 2 | E | ) 1 - ϵ , (2) Для любого x , y , z ∈ V такой, что 1-кусок x , 2-фрагмент y и 3-кусок z вместе образуют вектор w ∈ V : если$S$$2^V$$\Pr[x \in S] = (|V|/2|E|)^{1-\epsilon}$$x,y,z \in V$$x$$y$$z$$w \in V$ , то W ∈ S .$x,y,z \in S$$w \in S$

Мы выбираем случайное подмножество из V в соответствии с распределением, и для каждого ребра ( x , y ) ∈ E удаляем обе вершины x , y . Ожидаемое число вершин остались примерно ( | В | 2 / 2 | Е | ) 1 - ε . Результирующий набор T является локальным USP: если есть x , y , z ∈ T, в котором 1-кусок $S$$V$$(x,y) \in E$$x,y$$(|V|^2/2|E|)^{1-\epsilon}$$T$$x,y,z \in T$$x$, 2-кусок и 3-кусок г посадки, образуя часть ш , то х , у , г , ш ∈ S , и поэтому все х , у , г удаляются из S .$y$$z$$w$$x,y,z,w \in S$$x,y,z$$S$