Нумерация подмножеств

Исправить . Для любого достаточно большого мы хотели бы пометить все подмножества размера точно натуральными числами из . Нам бы хотелось, чтобы эта маркировка удовлетворяла следующему свойству: есть множество целых чисел, st$k\ge5$$n$$\{1..n\}$$n/k$$\{1...T\}$$S$

1. Если подмножеств размера не пересекаются (т.е. объединение этих множеств образуют все множество ), то сумма их меток в .$k$$n/k$$\{1..n\}$$S$
2. В противном случае, сумма их метки не в .$S$

Существует ли и метка st ?$k\ge5$$T\cdot|S|=O(1.99^n)$

Например, для любого мы можем пометить подмножества следующим образом. , каждое подмножество имеет битов в своем числе: первый бит равен если подмножество содержит , второй бит равен если подмножество содержит т. Д. Легко видеть, что содержит только один элемент . Но здесь . Можем ли мы сделать это лучше?$k$$T=2^n$$n$$1$$1$$1$$2$$S$$2^n-1$$T\cdot|S|=\Theta(2^n)$

Частичный ответ состоит в том, что даже для такой маркировки не существует.$k$

Для набора из непересекающихся подмножеств (размером пусть обозначает сумму их значений).$t$$S_1, \ldots, S_{t}$$n/k$$f(S_1, \ldots, S_t)$

Утверждение: если и то .$t < k$$S_1 \cup \ldots \cup S_t \ne S'_1 \cup \ldots \cup S'_t$$f(S_1, \ldots, S_t) \ne f(S'_1, \ldots, S'_t)$

Чтобы понять, почему утверждение верно, выберите набор такой, что но затем один из этих новых наборов пересекает один из , поэтому не может быть таким же, как .$S_{t+1}, \ldots, S_{k}$$\bigcup_{i=1}^{k} S_i = [n]$$S'_i$$f(S_1, \ldots, S_k)$$f(S'_1, \ldots, S'_t, S_{t+1}, \ldots, S_k)$

Следствие: .$T > {n \choose tn/k}/t$

Установка дает нижнюю границу .$t = k/2$$T \ge 2{n \choose n/2}/k = \Omega(2^n/\sqrt{n})$

Обратите внимание, что для нечетного можно получить нижнюю границу порядка . Уже при мы имеем поэтому показатель степени стремится к довольно быстро.$k$${n \choose n(1-1/k)/2} \approx 2^{H((1-1/k)/2)n} = 2^{n(1-O(1/k^2))}$$k = 5$$H((1-1/k)/2) = H(0.4) \approx 0.97$$1$

Я бы предположил, что для нечетных тоже не существует решения, но я не уверен, как это доказать.$k$

Это не ответ, а просто объяснение, почему при k = 2 такой маркировки не может быть (я уверен, что это уже было известно Алексу, так что это просто рецензия для других читателей, таких как я ...)

Для k = 2 имеем . Это потому, что есть подмножеств размера n / 2. Если любые два получают одинаковую метку, например, A и B, то либо сумма метки A и ее дополнения не в S, либо сумма метки B и дополнения A в S. Это подразумевает (для больших n).$T\ge {n \choose n/2}\ge 1.99^n$${n \choose n/2}$$T\ge {n \choose n/2}$

Для больших k аналогичный аргумент показывает, что все метки должны быть разными, но это дает только более слабую экспоненциальную нижнюю границу. Так что уже k = 3 кажется неизвестным.