Вопрос.
В своей работе « Улучшенное моделирование цепей стабилизатора» Ааронсон и Готтесман утверждают, что имитация схемы CNOT является ⊕L-полной (при сокращении пространства журнала). Ясно, что оно содержится в ⊕L ; как держится результат твердости?
Эквивалентно: есть ли сокращение лог-пространства от итерированных матричных произведений по модулю 2 до итерированных произведений элементарных матриц (обратимых матриц, которые реализуют преобразования строк) mod 2?
Детали
Контролируемым НЕ (или CNOT ) операция является обратимой булева операция, формы где изменяется только j- й бит, и что бит изменяется путем добавления по модулю 2 для любых различных позиций h и j . Нетрудно понять, если мы интерпретируем
В упомянутой выше работе Ааронсона и Готтесмана (которая весьма случайно связана с этим вопросом о классе квантовых цепей, которые можно смоделировать в ⊕L ) есть раздел о сложности вычислений. В начале этого раздела они описывают ⊕L следующим образом:
⊕L [является] классом всех задач, которые могут быть решены недетерминированной машиной Тьюринга в логарифмическом пространстве, которая принимает, если и только если общее число принимающих путей является нечетным. Но есть альтернативное определение, которое, вероятно, является более интуитивным для не-компьютерщиков. Это то, что ⊕L - это класс задач, которые сводятся к моделированию схемы CNOT полиномиального размера, то есть схемы, состоящей полностью из вентилей NOT и CNOT, действующих на начальное состояние | 0 ... 0⟩. (Легко показать, что эти два определения эквивалентны, но для этого потребуется сначала объяснить, что означает обычное определение!)
Целевая аудитория статьи включала в себя значительное количество ученых, не занимающихся информатикой, поэтому стремление к элите не является необоснованным; Я надеюсь, что кто-то может прояснить, как выполняется эта эквивалентность.
Ясно, что моделирование произведения таких матриц может быть выполнено в ⊕L как частный случай оценки коэффициентов итерированных матричных произведений (mod 2), что является полной проблемой (при сокращении пространства журналов) для ⊕L . Кроме того, поскольку матрицы CNOT просто выполняют операции с элементарными строками, любая обратимая матрица может быть разложена как произведение матриц CNOT. Однако: не ясно, как мне разложить даже обратимую матрицу mod 2 на произведение матриц CNOT путем сокращения логарифмического пространства . (Действительно, как отметил Эмиль Йержабек в комментариях, исключения Гаусса достаточно для вычисления определителей mod 2, что является ⊕L -полной проблемой: так что прямая атака путем разложения, например, обратимые матрицы как произведения элементарных матриц кажутся неосуществимыми в лог-пространстве, если только L = ⊕L .) Не говоря уже о матричных произведениях, которые не являются обратимыми. Так что, кажется, требуется более умное сокращение.
Я надеюсь, что кто-то может предоставить эскиз этого сокращения или ссылку ( например, текст, для которого это упражнение, если оно простое).
источник
Ответы:
Начнем с -полной задачи подсчета mod 2 числа путей длины n от вершины s до вершины t в ориентированном графе G = ( V , E ) . Мы применяем несколько сокращений пространства журнала следующим образом.⊕L 2 n s t G=(V,E)
Пусть - такой граф, что V ′ = V × { 0 , … , n } и E ′ = { ( ( u , i ) , ( v , i + 1 ) : i < n , ( u , v ) ∈ E } ∪ { (G′=(V′,E′) V′=V×{0,…,n} (т. е. мы берем n + 1 копиювершин G , делаем ребра из i- й копии в ( i + 1 ) -ную копию в соответствиис ребрами G , и добавить все петли). Тогда исходная задача эквивалентна подсчету путей длины n от s ′ = ( s , 0 ) до t ′ = ( t , n )E′={((u,i),(v,i+1):i<n,(u,v)∈E}∪{(w,w):w∈V′} n+1 G i (i+1) G n s′=(s,0) t′=(t,n) в .G′
Кроме того, является ациклическим, и мы можем явно определить перечисление V ′ = { w k : k ≤ m } так , чтобы все ребра в G ′, за исключением автопетл, переходили от w k к w l для некоторого k < l , Без ограничения общности w 0 = s ′ и w m = t ′ . Пусть M - матрица смежности G ′G′ V′={wk:k≤m} G′ wk wl k<l w0=s′ wm=t′ M G′ по данному перечислению. Тогда является верхней треугольной матрицей с числом 1 по диагонали, а число путей длины п от s ' до т ' равна верхний правый элемент М н .M 1 n s′ t′ Mn
Легко видеть, что где E i , j ( a ) - элементарная матрица, единственным недиагональным элементом которой является a в строка i и столбец j . Таким образом, мы свели исходную задачу к вычислению верхнего правого элемента произведения элементарных матриц. В ⊕ L
источник