Вычисление обратной матрицы при изменении элемента

Дана матрица . Пусть обратная матрица будет (то есть ). Предположим, что один элемент в изменен (скажем, до ). Цель состоит в том, чтобы найти после этого изменения. Есть ли способ найти эту цель, который более эффективен, чем пересчет обратной матрицы с нуля.$n \times n$$\mathbf{A}$$\mathbf{A}$$\mathbf{A}^{-1}$$\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$$\mathbf{A}$$a _{ij}$$a' _{ij}$$\mathbf{A}^{-1}$

Формула Шермана-Моррисона может помочь:

Пусть и v = e j , где e i - стандартный базисный вектор-столбец. Вы можете проверить, что если обновленной матрицей является A ′, то A ′ - 1 = A - 1 - ( a ′ i j - a i j ) A - 1 i → A - $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$$v = e_j$$e_i$$A'$

$A$$A^{-1}$

$\delta = a_{ij}' - a_{ij}$$a_{ij}$$e_i$$i$

$e_i \delta e_j^\top$$\delta$$ij$$A^{-1}$$A^{-1}$

$A^{-1}$