Уловка, использованная в доказательстве двукратно экспоненциальной сложности арифметики Пресбургера

9

Я разместил это на MathUnderflow, но не получил ответов, поэтому решил попробовать здесь,

Я читаю старую статью Рабина и Фишера [опубликует ссылку, когда это возможно], где, помимо прочего, доказана двоякая экспоненциальная сложность арифметики Пресбургера.

Доказательство основывается на существовании формулы неформально утверждающей « x < 2 2 k x + 1 » с | Я н | O ( n ) . Хотя конструкция этой формулы не приведена в статье, что меня удивило, учитывая, что она предположительно весьма нетривиальна, учитывая эту границу и тот факт, что в нашем распоряжении есть только сложение!яN(Икс)Икс<22КИкс+1|яN|О(N)

Позже я узнал, что построение этой формулы опирается на «уловку», ранее обнаруженную Фишером, и независимо от Фолькера Штрассена, но мне не удалось отследить статью, подробно описывающую эту уловку!

Так что, если кто-то знает о бумаге, о которой я говорю, и может либо указать мне ее направление, либо даже описать мне трюк ...

Этот пост из блога Липтона содержит ссылку на статью, а также упоминает [и предоставляет грубый, к сожалению, недостаточный для меня, набросок] упомянутого трюка, кстати.

Я знаю, что это расплывчатое описание. Хотя достаточно подробное описание было бы слишком длинным для поста SX, так что я просто надеюсь, что кто-то, кто уже знает об этой статье - и, следовательно, сможет справиться с этим кратким наброском, - натолкнется на это и сможет мне помочь. ,

мокрый
источник
NК22NИкс+1
3
Вы можете скачать статью о Фишере и Рабине здесь .
Мартин Бергер
3
Строительство будет дано в работе: Теорема 8 на страницах 14-15 (фактическое утверждение следствия 9 на странице 16).
Юваль Фильмус

Ответы:

7

Комментарий Мартина (и продолжение Ювала) дает ссылку, которая объясняет конструкцию в некоторых деталях.

22сNMN(Икс,Y,Z)

MN(Икс,Y,Z)Икс×Yзнак равноZ Икс<22N

MNN

MN+1(Икс,Y,Z)

MN(Икс1,Y1,Z1)MN(Икс2,Y2,Z2)MN(Икс3,Y3,Z3)

Uvвес,(Uзнак равноИкс1vзнак равноY1весзнак равноZ1)(Uзнак равноИкс2vзнак равноY2весзнак равноZ2)(Uзнак равноИкс3vзнак равноY3весзнак равноZ3)MN(U,v,вес)

N

Есть несколько других трюков, но это основной. Конечно, внутренности рекурсии важны, но сходство с трюком Карацубы действительно поразительно.

Коди
источник
1
пSпAСЕзнак равноNпSпAСЕ