Учитывая триангуляцию (без точек Штейнера) простого многоугольника , можно рассмотреть дуал этой триангуляции, который определяется следующим образом. Мы создаем вершину для каждого треугольника в нашей триангуляции и соединяем две вершины, если соответствующие треугольники имеют общее ребро. Известно, что двойной граф является деревом с максимальной степенью три.
Для моего приложения меня интересует следующее. Учитывая дерево с максимальной степенью три, есть всегда простой многоугольник такое , что сопряженное каждая триангуляция (без точек Штейнера) из равно . Здесь триангуляция может быть не единственной, но я требую, чтобы дуальный граф был уникальным.П П Т П
Это, конечно, верно, когда - путь, но становится неясным, когда у вас есть вершины третьей степени.
Ответы:
Да. Чтобы показать это, я приведу процедуру, чтобы получить немного более сильный результат *:
v 0 T v 0 QΔ0 v0 T v0 Q Q
Обратите внимание, что построенные в этом методе многоугольники имеют тенденцию иметь достаточно острые углы. Я подозреваю, что для произвольных больших графов требуются многоугольники с произвольными малыми углами, что может быть проблемой при рисовании этих многоугольников с конечной точностью.
*: Разница в том, что если мы интерпретируем «уникальный» как с точностью до изоморфизма (что согласуется с уникальностью триангуляций и двойственностей, отличающихся друг от друга), мы будем в порядке с многоугольником, имеющим множественные триангуляции, которые имеют изоморфные дуалы. Тем не менее, можно «прикрепить» больше треугольников к этим многоугольникам, чтобы некоторые дуалы больше не были изоморфными.
источник