Уникальные триангуляционные двойники простых многоугольников

9

Учитывая триангуляцию (без точек Штейнера) простого многоугольника , можно рассмотреть дуал этой триангуляции, который определяется следующим образом. Мы создаем вершину для каждого треугольника в нашей триангуляции и соединяем две вершины, если соответствующие треугольники имеют общее ребро. Известно, что двойной граф является деревом с максимальной степенью три.P

Для моего приложения меня интересует следующее. Учитывая дерево с максимальной степенью три, есть всегда простой многоугольник такое , что сопряженное каждая триангуляция (без точек Штейнера) из равно . Здесь триангуляция может быть не единственной, но я требую, чтобы дуальный граф был уникальным.П П Т ПTPPTP

Это, конечно, верно, когда - путь, но становится неясным, когда у вас есть вершины третьей степени.T

Nizbel99
источник
1
Двойственный граф не обязательно является деревом. Рассмотрим эту звездообразную форму , которая в зависимости от вашего определения совместного использования ребра (полного или частичного) является либо непересекающимся графом из 4 вершин, либо 4-циклом.
orlp
Хороший улов! Я забыл упомянуть, что я не допускаю очки Штейнера в моих триангуляциях. Я обновлю вопрос.
Nizbel99
Интересный вопрос, но мне любопытно, какое приложение это может иметь. Ты можешь сказать?
Дискретная ящерица

Ответы:

2

Для дерева с максимальной степенью три, всегда ли существует простой многоугольник такой, что двойственное число каждой триангуляции (без точек Штейнера) равно ?П П ТTPPT

Да. Чтобы показать это, я приведу процедуру, чтобы получить немного более сильный результат *:

Принимая во внимании дерева с максимальной степенью три, построить простой многоугольник , таким образом, что уникальные триангуляции из (без Steiner точки) имеет , как его сопряженные.П П ТTPPT

v 0 T v 0 QΔ0v0Tv0QQ

  • v
  • wABΔvDABΔABDΔwΔABDwQ

PT

Пример полигона

ABAD

CDPQ{B,D}DQPADBDΔABDQсуществует, только если существует аналогичная точка для ранее размещенного треугольника. Поскольку такой точки для первого треугольника не существует, это означает, что такой точки нет ни для одного добавляемого треугольника.

(X,Y)PXYPP

Обратите внимание, что построенные в этом методе многоугольники имеют тенденцию иметь достаточно острые углы. Я подозреваю, что для произвольных больших графов требуются многоугольники с произвольными малыми углами, что может быть проблемой при рисовании этих многоугольников с конечной точностью.

*: Разница в том, что если мы интерпретируем «уникальный» как с точностью до изоморфизма (что согласуется с уникальностью триангуляций и двойственностей, отличающихся друг от друга), мы будем в порядке с многоугольником, имеющим множественные триангуляции, которые имеют изоморфные дуалы. Тем не менее, можно «прикрепить» больше треугольников к этим многоугольникам, чтобы некоторые дуалы больше не были изоморфными.

Дискретная ящерица
источник