У Алисы, студентки, есть много домашней работы в течение следующих недель. Каждый предмет домашнего задания занимает у нее ровно один день. Каждый элемент также имеет крайний срок и отрицательно влияет на ее оценки (допустим реальное число, бонусные баллы только при условии сопоставимости), если она пропустит крайний срок.
Напишите функцию, в которой указан список (крайний срок, влияние на оценку), чтобы определить график выполнения домашнего задания, в какой день минимизировать сумму плохого влияния на ее оценки.
Вся домашняя работа должна быть сделана в конце концов, но если она пропустит крайний срок для предмета, не имеет значения, как поздно она сдаст его.
В альтернативной формулировке:
ACME Corp хочет поставлять воду клиентам. Все они живут на одной гористой улице. У ACME есть несколько колодцев, распределенных вдоль улицы. В каждой скважине достаточно воды для одного клиента. Клиенты предлагают разные суммы денег для поставки. Вода течет только вниз. Максимизируйте доход, выбирая, какие клиенты поставлять.
Мы можем отсортировать сроки, используя сортировку по группам (или просто предположить, что мы уже отсортированы по крайнему сроку).
Мы можем легко решить эту проблему с помощью жадного алгоритма, если сначала отсортируем по убыванию степени влияния. Это решение будет не лучше, чем O (n log n).
Вдохновленный Медианой медиан и алгоритмами рандомизированного линейного минимального связующего дерева , я подозреваю, что мы можем решить мою простую задачу планирования / потока в (рандомизированное?) Линейное время.
Я ищу:
- (потенциально рандомизированный) алгоритм линейного времени
- или в качестве альтернативы аргумент, что линейное время невозможно
В качестве трамплина:
- Я уже доказал, что просто зная, какие пункты могут быть выполнены до истечения срока, достаточно, чтобы восстановить полный график за линейное время. (Это понимание лежит в основе второй формулировки, где я спрашиваю только о сертификате.)
- Простая (целочисленная!) Линейная программа может моделировать эту проблему.
- Используя двойственность этой программы, можно проверить предлагаемое решение-кандидат в линейном времени на оптимальность, если также дано решение для двойной программы. (Оба решения могут быть представлены в линейном количестве битов.)
В идеале, я хочу решить эту проблему в модели, которая использует только сравнение между оценками воздействия, и не принимает цифры там.
У меня есть два подхода к этой проблеме - один, основанный на ловушках, использующих крайний срок и воздействие, другой, подобный QuickSelect, основанный на выборе случайных элементов поворота и разделении элементов по воздействиям. Оба имеют худшие случаи, которые вызывают O (n log n) или худшую производительность, но я не смог построить простой особый случай, который снижает производительность обоих.