Почему проблемы решения обычно используются в теории сложности?

Из Википедии :

Тип вычислительной проблемы: Наиболее часто используемые проблемы - это проблемы с решением . Однако классы сложности могут быть определены на основе функциональных проблем, проблем с подсчетом, оптимизационных задач, проблем с обещаниями и т. Д.

Я также видел, что определения NP-complete, NP-hard, NP, ..., определены только для решения проблем. Интересно, почему это так?

Это потому, что любая другая проблема может быть эквивалентно преобразована в проблему решения?

Часто решения проблемы используются, потому что они позволяют точное и простое определение проблемы, и, как указано, многие другие проблемы могут быть преобразованы в эквивалентную проблему решения.

Другие типы проблем также рассматриваются в теории сложности, например, функциональные проблемы и проблемы поиска .

Есть, вероятно, много разных способов ответить на этот вопрос, однако одним из ключевых элементов является исторический прецедент. опровержение Тьюрингом алгоритма решения проблемы остановки в 1936 году использует проблему остановки как решение проблемы. это , в свою очередь основано на (и решен отрицательно) Hilberts проблема разрешения (1928) , который просил для систематического метода определения истинности или ложности какого - либо хорошо сформированной математической постановки т.е. также проблемы принятия решений.

это, в свою очередь, имеет некоторое сходство с 10-й проблемой Гильбертса, датируемой 1900 годом, которая требует решения целочисленных диофантовых уравнений (многие из его 23 краевых / центральных исследовательских задач были сформулированы как проблемы решения). Тем не менее, обратите внимание, что проблема Entscheidungs ​​уходит корнями в гораздо более раннюю концепцию Лейбница, как гласит Википедия:

Происхождение проблемы Entscheidungs ​​восходит к Готфриду Лейбницу, который в семнадцатом веке, построив успешную механическую вычислительную машину, мечтал построить машину, которая могла бы манипулировать символами, чтобы определять истинные значения математических утверждений.

Также обратите внимание, что диофантовы уравнения датируются греками, которые были одними из первых, кто рассмотрел, изучил и подчеркнул важность математического доказательства. Есть по крайней мере две важные проблемы из теории чисел, которые до сих пор не решены во многих современных исследованиях из-за греков: существование бесконечных простых чисел-близнецов и существование нечетных совершенных чисел .

Отметим, что некоторые «проблемы решения» (то есть в форме поиска доказательств, чтобы открыть математические гипотезы) буквально заняли сотни лет, чтобы решить, например, последнюю теорему Фермаса , более 3,5 века, также в теории чисел.

таким образом, проблемы решения очень стары, но даже если их просто сформулировать, они могут быть чрезвычайно трудными и, по сути, коренятся в вопросе «является ли это утверждение истинным или ложным» относительно существования доказательств (доказательств). в основе его основная математическая концепция. более того, он продолжает появляться в современных местах фундаментальным и напоминающим образом, таким как вопрос P vs NP (~ 1971), где класс NP может быть определен / сформулирован с точки зрения остановки машины NP и решения проблемы выполнимости за время P ,