Этот вопрос является чем-то вроде обратного к предыдущему вопросу о множествах, сформированных из операций над множествами на NP-полных наборах:
Если множество , являющееся результатом объединения, пересечения или декартового произведения двух разрешимых множеств и является NP-полным, является ли хотя бы один из обязательно NP-сложным? Я знаю, что они не могут быть оба в P (при условии, что P! = NP), так как P замкнут при этих операциях над множествами. Я также знаю, что условия «разрешимый» и «NP-жесткий» необходимы, поскольку, если мы рассмотрим любой NP-полный набор и другой набор вне NP (будь то NP-жесткий или неразрешимый), то мы можем сформировать два новых NP-hard устанавливает не в NP, чье пересечение является NP-полным. Например: и . Однако я не знаю, как действовать после этого. л 2 л 1 , л 2 л Б л 1 : = 01 л ∪ 11 B L 2 : = 01 л ∪ 00 В
Я имею в виду , что в случае объединения не может быть правдой , так как мы можем принять NP-полный набор и выполнить строительство в теореме Ладнер, чтобы получить множество НПИ , который является подмножеством . Тогда является исходным NP-полным набором. Однако я не знаю, находится ли в NPI или NP-hard. Я даже не знаю, с чего начать для случая пересечения и декартового произведения.B ∈ A B ∪ ( A ∖ B ) = A A ∖ B
Ответы:
Пересечение двух не-NP-сложных языков может быть NP-сложным. Пример: Решения любого экземпляра 3SAT - это заданное пересечение решений экземпляра HORN-3SAT и экземпляра ANTIHORN-3SAT. Это связано с тем, что предложение 3CNF должно быть предложением Horn или anti-Horn, а экземпляр 3SAT является соединением таких предложений. 3SAT конечно NP-завершен; HORN-3SAT и ANTIHORN-3SAT находятся в P.
источник