NP-полные комплекты сформированы из двух других наборов, только если хотя бы один NP-сложен?

10

Этот вопрос является чем-то вроде обратного к предыдущему вопросу о множествах, сформированных из операций над множествами на NP-полных наборах:

Если множество , являющееся результатом объединения, пересечения или декартового произведения двух разрешимых множеств и является NP-полным, является ли хотя бы один из обязательно NP-сложным? Я знаю, что они не могут быть оба в P (при условии, что P! = NP), так как P замкнут при этих операциях над множествами. Я также знаю, что условия «разрешимый» и «NP-жесткий» необходимы, поскольку, если мы рассмотрим любой NP-полный набор и другой набор вне NP (будь то NP-жесткий или неразрешимый), то мы можем сформировать два новых NP-hard устанавливает не в NP, чье пересечение является NP-полным. Например: и . Однако я не знаю, как действовать после этого. л 2 л 1 , л 2 л Б л 1 : = 01 л 11 B L 2 : = 01 л 00 ВL1L2L1,L2LBL1:=01L11BL2:=01L00B

Я имею в виду , что в случае объединения не может быть правдой , так как мы можем принять NP-полный набор и выполнить строительство в теореме Ладнер, чтобы получить множество НПИ , который является подмножеством . Тогда является исходным NP-полным набором. Однако я не знаю, находится ли в NPI или NP-hard. Я даже не знаю, с чего начать для случая пересечения и декартового произведения.B A B ( A B ) = A A BABAB(AB)=AAB

Ari
источник
1
Проблема в P может быть NP-полной, если P = NP, что делает ваше утверждение «они оба не могут быть в P» ложным.
Wojowu
1
@Wojowu Спасибо, вы правы. Я просто предположил, что было понятно, что весь этот вопрос основан на предпосылке, что P! = NP. В противном случае это бессмысленно / тривиально, так как тогда у нас будет NPC = P. Я отредактирую вопрос.
Ари
@ Ari, На самом деле , даже если . P = N PNPCPP=NP
Том ван дер Занден
@TomvanderZanden Как это возможно? так что если P = NP, то любая проблема в NP может быть решена за полиномиальное время, включая проблемы в NPC. NPCNP
Ари
2
@Ari Пустой набор и набор всех строк находятся в , но они не являются неполными. Вы ничего не можете уменьшить до пустого набора (или набора всех строк), потому что это всегда экземпляр no (соответственно yes). Н ПNPNP
Том ван дер Занден

Ответы:

1

Пересечение двух не-NP-сложных языков может быть NP-сложным. Пример: Решения любого экземпляра 3SAT - это заданное пересечение решений экземпляра HORN-3SAT и экземпляра ANTIHORN-3SAT. Это связано с тем, что предложение 3CNF должно быть предложением Horn или anti-Horn, а экземпляр 3SAT является соединением таких предложений. 3SAT конечно NP-завершен; HORN-3SAT и ANTIHORN-3SAT находятся в P.

Кайл Джонс
источник
5
Я не могу последовать вашему примеру. Пересечение HORN-SAT и ANTIHORN-SAT - довольно скучный язык, который определенно есть в P.
Yuval Filmus
1
HORN-3SAT можно определить разными способами. Одним из способов является исправление кодировки экземпляров HORN-3SAT - каждая строка кодирует некоторый такой экземпляр - и тогда HORN-3SAT состоит из выполнимых экземпляров. Эта кодировка, вероятно, отличается от кодировки, которую вы использовали бы для ANTIHORN-3SAT, поэтому неясно, что именно является языком пересечения - определенно не SAT.
Юваль Фильмус
1
Другой возможностью является определение HORN-3SAT как языка экземпляров 3SAT, которые (i) в форме рога, (ii) выполнимы. Теперь пересечение HORN-3SAT и ANTIHORN-3SAT имеет смысл: оно состоит из всех экземпляров 3SAT, которые (i) в форме рога и в антигорне, (ii) выполнимы. Это может быть проще, чем каждый из HORN-3SAT и ANTIHORN-3SAT.
Юваль Фильмус
4
Это очень странное определение пересечения языка, отличающееся от того, которое здесь подразумевалось. Если и являются языками (такими как 3SAT), под их пересечением мы подразумеваем . L 2 L 1L 2L1L2L1L2
Юваль Фильмус
3
@ KyleJones @ Юваль Я думаю, что может быть некоторая путаница в отношении примеров против языков. Хотя каждый экземпляр 3SAT, безусловно, состоит исключительно из клаузул Horn и клаузул Anti-Horn, это не тот случай, когда язык равен или альтернативно поскольку эти наборы имеют экземпляры, каждый из которых состоит исключительно из предложений Horn или Anti-Horn, в то время как каждый экземпляр 3SAT может иметь смесь этих двух типов предложений.H O R N 3 S A TA N T I H O R N 3 S A T H O R N 3 S A TA N T I H O R N 3 S A T3SATHORN3SATANTIHORN3SATHORN3SATANTIHORN3SAT
Ari