Теорема Галуа эффективно говорит, что нельзя выразить корни многочлена степени> = 5, используя рациональные функции коэффициентов и радикалов - разве нельзя считать, что это говорит о том, что для данного многочлена нет детерминированного алгоритма для нахождения корней?
Теперь рассмотрим вопрос решения в форме: «Учитывая действительный корень полинома и число k является третьим и четвертым наивысшим корнем по крайней мере на промежутке k?»
Сертификат доказательства для этого вопроса о решении будет просто набором корней этого многочлена, и это будет короткий сертификат, и, следовательно, похоже, что НО не является теоремой Галуа, говорящей о том, что не существует какого-либо детерминированного алгоритма для поиска сертификата для этого решение вопроса? (и это свойство, если true, исключает любой алгоритм, чтобы решить ответ на этот вопрос)
Так в каком классе сложности находится этот вопрос решения?
Все NP-полные вопросы, которые я видел, всегда имеют тривиальный экспоненциальный алгоритм времени, доступный для их решения. Я не знаю, ожидается ли, что это будет свойство, которое всегда должно быть правдой для всех NP-полных вопросов. Для этого вопроса решения это не похоже на правду.
источник
Ответы:
Интересная связь, однако, теория Галуа утверждает, что не существует (непротиворечивого) метода для нахождения корней квинтики с использованием радикалов , вместо того, чтобы говорить, что у проблемы есть решение (например, самый длинный путь), которое может потребовать суперполиномиального времени. Так что я бы сказал, что это больше связано с неразрешимостью, чем со сложностью.
В частности, в теории Галуа постепенно строятся групповые расширения корней уравнения, шаг за шагом (добавляя один корень за раз). И все эти группы должны быть разрешимыми, в некотором смысле не должно быть никакой двусмысленности в процессе построения этих расширений в другом порядке. Существует связанный с МО вопрос о сложности построения группы Галуа уравнения .
Еще одна ссылка здесь "ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ГАЛУА: ИНВАРИАНТЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ НАД ", КЛАУС ФИКЕР ЮРГЕН КЛУНЕРСQ
Кроме того, можно систематически представлять корни полиномиального уравнения с использованием радикалов (когда уравнение разрешимо с использованием радикалов) на основе построения группы (групп) Галуа уравнения. Ссылка: «Радикальное представление полиномиальных корней», Хироказу Анаи Казухиро Йокояма 2002
Вычислительная сложность определения, является ли данный монический неприводимый многочлен над целыми числами , разрешима Z радикалами, приведена в P Ref"Разрешимость радикалами за полиномиальное время", С. Ландау Г. Л. Миллер 1984Z P
Обзор недавних «Методик вычисления групп Галуа», Александр Хулпке
Конечно, если кто-то ищет хорошие алгоритмы аппроксимации и их сложность (например, метод Ньютона или теорема Штурма), это немного другой вопрос, и уже опубликованный ответ дает больше информации в этом направлении.
источник
Я предполагаю, что вы рассматриваете полиномы с целыми коэффициентами.
Вы выбрали неверную отправную точку для своих расследований; Ваша цель - найти хорошие оценки для реальных корней. Поиск алгебраической формулы, чтобы вы могли оценить ее с достаточной точностью, - это то, что вы можете сделать, но это не совсем то, что нужно делать здесь. (если, конечно, «
k
-ый по величине вещественный корень многочлена» не является одной из ваших алгебраических операций)Намного лучше начать с использования теоремы Штурма для выделения корней многочлена. Затем вы можете получить более точные оценки с помощью бинарного поиска, но если это слишком медленно, вы можете использовать метод Ньютона для быстрого получения оценок с высокой точностью.
Но это только поиск сертификатов. Остается вопрос о том, какие сертификаты могут существовать.
Прежде всего, я укажу, что вы можете напрямую вычислить, находятся ли два корня точно на единицах, например, вычисляя gcd ( p ( x ) , p ( x - k ) ) . Вам также нужно будет решить, что вы хотите делать с повторяющимися корнями, и действовать соответствующим образом. Я предполагаю, что вы будете иметь дело с этим делом специально.k gcd(p(x),p(x−k))
Если мы знаем, что два корня не находятся точно в единицах, это означает, что вы можете получить оценку с достаточной точностью, чтобы доказать, что они либо больше, либо меньше, чем k единиц. например, есть два вида сертификатов:k k
Первый вид (доказательство в отрицании)
Второй вид (доказательство в позитиве)
Сертификат можно проверить с помощью теоремы Штурма. Теперь, ваш вопрос о размере сертификата сводится к нахождению , сколько битов точности нужно представлять .a
Другими словами, каковы границы возможных значений , где a , b - корни из f ?a−b−k a,b f
Я не уверен в отличном подходе, но тот, который должен дать вам кое-что, должен заметить, что все эти значения являются корнями полинома:
Почему? Напомним, что результат двух моничных многочленов является произведением всех разностей их корней, поэтому
где - ведущий коэффициент, а d - степень f . (возможно я написал формулу для - g ( x ) вместо g ( x )c d f −g(x) g(x) ; я никогда не уверен в знаке)
Поэтому вопрос состоит в том, чтобы найти оценки того, насколько большими могут быть коэффициенты , а затем, как только вы это узнаете, найти оценки того, насколько близок корень из gg g к нулю.
(или, альтернативно, найдите наибольшую величину, которую может иметь корень обратного полинома от ; корни обратного полинома являются обратными корням из g )g g
источник
собираюсь принять ваши вопросы, как в основном открытые. доказательство Галуа, теперь известное как Абель-Раффини, показывает невозможность полиномиальных решений квинтики. (в отличие, например, от квадратного уравнения). поэтому его на самом деле не в результате на твердость проблемы как таковой , а скорее невозможности . в этом смысле это более аналогично, например, доказательству неразрешимости проблемы остановки. Теория сложности в целом связана с «стоимостью» вычислительных решений. это точка зрения двух ведущих исследователей CS во вводном разделе этой следующей статьи ( вычислимость и сложность / Kleinberg & Papadimitriou), сек. 1 Поиски формулы квинтов:
источник