Если граф связен и не имеет пути длиной больше , докажите, что каждые два пути в длины имеют хотя бы одну общую вершину.
Я думаю, что эта общая вершина должна быть в середине обоих путей. Потому что, если это не так, то мы можем иметь путь длиной . Я прав?
graph-theory
graphs
combinatorics
Саурабх
источник
источник
Ответы:
Предположим противного , чтоP1=⟨v0,…,vk⟩ и P2=⟨u0,…,uk⟩ два пути в G длины k без общих вершин.
ПосколькуG связно, существует путь P′ соединяющий vi с uj для некоторого i,j∈[1,k] такой, что P′ разделяет вершин с P1∪P2 кроме vi и uj . Скажем P′=⟨vi,x0,…,xb,uj⟩ (обратите вниманиечто там может быть неxi вершина, то есть,b может быть0 - обозначение немного дефицитныехотя).
Без ограничения общности можно считать, чтоi,j≥⌈k2⌉ (мы всегда можем изменить нумерацию). Тогда мы можем построить новый путьP∗=⟨v0,…,vi,x1,…,xb,uj,…,u0⟩ (идя поP1 кvi , затем через мост формируется черезP′ доuj , то вдольP2 доu0 ).
Очевидно, чтоP∗ имеет длину, по крайней мере, k+1 , но это противоречит предположению, что G не имеет путей длины, превышающих k .
Таким образом, любые два пути длиныk должны пересекаться хотя бы с одной вершиной, и ваше наблюдение, что оно должно быть посередине (если есть только один), следует вашим рассуждениям.
источник
Вы правы, что общая вершина должна находиться в середине обоих путей.
Однако эта интуиция не решит реальную проблему, которую вы пытаетесь решить.
Вместо этого попытайтесь продемонстрировать, что для любой точки пути сегмент пути (и включая), который указывает на один из концов исходного пути, должен иметь строго больше половины узлов, чем полный путь.
Как только вы докажете это, вы сможете как решить проблему, о которой вас спрашивали, так и проверить свою гипотезу.
источник