Цепи глубины-2 с вентилями OR и MOD не универсальны?

9

Хорошо известно, что каждая булева функция может быть реализована с использованием булевой схемы глубины 2 (над переменными, их отрицанием и постоянными значениями) содержащий логические элементы И на первом уровне и один логический элемент ИЛИ на верхнем уровне; это просто представление DNF из .f:{0,1}n{0,1}f

Другим типом шлюза, который представляет большой интерес для сложности схемы, является . Обычное определение следующее:MODm

MODm(x1,,xk)={1 if xi0modm 0 if xi0modm 

Эти ворота иногда обладают удивительной силой; например, любая булева функция может быть представлена ​​схемой глубины 2, имеющей только ворота MOD6 (это фольклор, но я могу уточнить, кто-то заинтересован).

Однако другой фольклор заключается в том, что схемы с одним вентилем ИЛИ наверху и вентилями MODm в нижнем слое (причем m фиксируется раз и навсегда и, в частности, одинаковы для всех вентилей), не являются универсальный, т. е. для любого значения m существуют логические функции, которые не могут быть вычислены схемой ORMODm .

Я ищу подтверждение этому требованию или хотя бы какое-то направление.

Гади А
источник
1
В первом абзаце вам либо НЕ нужны вентили, либо вы должны сказать «каждая монотонная булева функция».
Цуёси Ито
Ты прав; Обычно предполагается, что в качестве входных данных у вас есть переменные, их отрицание, а также произвольные значения (важно для modgates). Я напишу это явно.
Гади А
1
Я думаю, что , количество входных переменных, отличается от , модуль? nn
Кристоффер Арнсфельт Хансен
Да, извините за это.
Гади А
Я заинтересован в этом. Знаете ли вы ссылку на первый фольклорный факт? Интересно, если в последнем классе цепей вы разрешаете только одно ИЛИ, сколько вы разрешаете в первом?
Хуан Бермехо Вега

Ответы:

9

Булева функция AND не может быть вычислена. Предположим, что функция AND вычисляется схемой . Затем следует, что одна из подсхем MOD уже должна вычислять функцию AND, что невозможно.ORMOD

Кристоффер Арнсфельт Хансен
источник
Нет, он прав. Здесь подразумевается, что n является константой, и мы должны иметь возможность обрабатывать произвольно большое количество входов с помощью логических элементов mod_n.
Гади А
@GadiA Ах, хорошо. Это не было ясно в вашем вопросе, по крайней мере, для людей, которые не знакомы с этой областью. Я сделал небольшое изменение, которое должно прояснить это.
Жиль "ТАК - перестать быть злым"
Да, мой вопрос был очень плохо сформулирован, извините.
Гади А
@ Жиль Можете ли вы объяснить мне, что фан-здесь мы рассматриваем? Проблема для меня в том, что я не могу понять, почему подсистема MOD не может вычислить AND? Сколько входов имеет этот мод и это И?