Простой способ доказать, что этот алгоритм в конечном итоге завершается

Введение и обозначения:

Вот новая и простая версия моего алгоритма, которая, кажется, заканчивается (согласно моим экспериментам), и теперь я хотел бы доказать это.

Пусть обозначение относится к мерной точке данных (вектору). У меня есть три набора A, B и C, так что , , : $x_i \in \mathbb{R}^p$ $p$ $|A| = n$ $|B| = m$ $|C| = l$

A = {x_{i} | i = 1, . ., n}

$A = \{x_i | i = 1, .., n\}$

B = {x_{j} | j = n + 1, . ., n + m}

$B = \{x_j | j = n+1, .., n+m\}$

C = {x_{u} | u = n + m + 1, . ., n + m + l}

$C = \{x_u | u = n+m+1, .., n+m+l\}$

Для пусть обозначает среднее евклидово расстояние от до ближайших точек в ; и обозначаю среднее евклидово расстояния от ее ближайшей точке в . $k \in \mathbb{N^*}$ $d_{x_i}^A$ $x_i$ $k$ $A$ $d_{x_i}^C$ $x_i$ $k$ $C$

Алгоритм:

$A$ $B$ $B$ $C$ $A$ $C$ $B$

$A' = \{ x_i \in A \mid d_{x_i}^A > d_{x_i}^C \}$
$A = A \setminus A'$ $B = B \cup A'$
$B' = \{ x_i \in B \mid d_{x_i}^A < d_{x_i}^C$
$B = B \setminus B'$ $A = A \cup B'$
$A$ $B$ $B$ $A$ $|A| \leq k$ $|B| \leq k$

Алгоритм заканчивается в двух случаях:

$|A|$ $|B|$ $k$
$A' = B' = \emptyset$

Вопрос:

$\sum_{x \in A} d_x^C + \sum_{x \in B} d_x^A$ $\sum_{x \in A} d_x^A + \sum_{x \in B} d_x^C$ $\sum_{x \in A} d_x^A + \sum_{x \in B} d_x^B$ $\sum_{x \in A} d_x^B + \sum_{x \in B} d_x^A$

Ноты:

$k$ $x$ $S$ $k$ $x$ $S$ $x$ $k = 1$
$A, B, C$ $\forall x_i \in B, x_j \in A$ $x_b \in C$ $x_i$ $x_a \in C$ $x_j$ $distance(x_i, x_b) < distance(x_j, x_a)$ $B$ $C$ $A$
$A$ $B$ $A$ $B$ $A'$ $B$

algorithms complexity-theory algorithm-analysis optimization SHN
источник

Почему вы заинтересованы в этом конкретном алгоритме?

Шна: Что вы хотите сделать с набором точек, произвольно разделенных на три набора?

@shna Знание цели и задач алгоритма может привести к улучшению интуиции и, следовательно, помочь в решении проблемы.

A

$A$

B

$B$

B

$B$

C

$C$

A

$A$

C

$C$

B

$B$

Миграция в теорию была отклонена.

Ответы:

$k = 1$

$A$ $B$ $A$ $B$

$x$ $x$ $B$ $A$ $x$ $A$ $x'$ $A$ $d_x^C > dist(x, x')$ $f$ $f(x) = x'$ $x'$ $A$ $B$ $x'$ $A$ $x$ $f(f(x)), f(f(f(x))),$

$f^n(x) = f^m(x)$ $m > n$ $d_{f(x)}^C, d_{f^2(x)}^C, ... d_{f^n(x)}^C, ...$ $o$ $d_{f^{o-1}(x)}^C \leq d_{f^o(x)}^C$

$f^{o-1}(x)$ $f^o(x)$ $A$ $C$ $d_{f^o(x)}^C \geq d_{f^{o-1}(x)}^C > dist(f^{o-1}(x), f^o(x))$ $f$

$f^{o-1}(x)$ $f^o(x)$ $A$ $A$ $f$ $k = 1$

причинный
источник

k = 1

$k = 1$

@shn Я не уверен, почему вы критикуете методику доказательства того, кто был более успешным в решении вашей проблемы, чем вы. Особенно, когда в вашем собственном вопросе перечислено четыре неудачных попытки использовать предпочитаемую вами технику.

Дэвид Ричерби

k > 1

$k > 1$