Краткое и точное доказательство сильной теоремы двойственности для линейного программирования

Рассмотрим линейные программы

D u a l : → c ≤ → y T

Теорема слабой двойственности утверждает, что если и удовлетворяют ограничениям, то . Он имеет краткое и гладкое доказательство с использованием линейной алгебры: .→ y → c T → x ≤ → y T → b → c T → x ≤ → y TA → x ≤ → y T → $\vec{x}$$\vec{y}$$\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$$\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T A \vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$

Теорема о сильной двойственности гласит, что если является оптимальным решением для простого числа, то существует которое является решением для двойственного, и .→ y → c T → x = → y T → $\vec{x}$$\vec{y}$$\vec{c}^T\vec{x} = \vec{y}^T\vec{b}$

Есть ли такое же краткое и изящное доказательство для сильной теоремы двойственности?

Возможно нет. Вот концептуальный аргумент, основанный на

Фаркас Лемма : Точно одна из следующих альтернатив имеет решение:

1. и x ≥ $Ax \le b$$x \ge 0$
2. и y T b < $y^TA\ge 0$$y^Tb < 0$

$\delta$$\epsilon > 0$$A'$$A$$-c^T$$b'$$b$$-\delta - \epsilon$

$A'x'\le b'$$y' = (y,\alpha)$

$y^TA\ge \alpha c$$y^Tb < \alpha (\delta + \epsilon)$

$\epsilon = 0$$\alpha > 0$

$y'$$\alpha = 1$$y$$\delta \le y^Tb < \delta + \epsilon$