Предположим , у меня есть граф с M ( G ) на (неизвестно) набор совершенных паросочетаний G . Предположим, что это множество не пустое, тогда как трудно выбрать равномерно случайную выборку из M ( G ) ? Что если я в порядке с распределением, близким к равномерному, но не совсем равномерным, то существует ли эффективный алгоритм?
algorithms
complexity-theory
matching
sampling
Артем Казнатчеев
источник
источник
Ответы:
Существует классическая статья Джеррума и Синклера (1989) о выборке идеальных совпадений из плотных графиков. В другой классической работе Джеррума, Синклера и Вигоды (2004; pdf) обсуждается выборка идеальных совпадений из двудольных графов.
В обеих этих работах используются быстро перемешивающиеся цепи Маркова, и поэтому образцы являются практически почти однородными. Я предполагаю, что равномерная выборка затруднена.
источник
Если вы предполагаете, что ваш график плоский, то для этой задачи выборки существует процедура за полиномиальное время.
Во-первых, проблема подсчета числа совершенных совпадений в P для плоских графов. ( https://en.wikipedia.org/wiki/FKT_algorithm ) (Хорошее изложение этого факта можно найти в первой главе книги Джеррума «Подсчет, выборка и интеграция».)
(При этом используется тот факт, что сопоставления являются «самовосстанавливаемой» структурой, поэтому проблемы подсчета и проблемы равномерной выборки по сути одинаковы. Вы можете увидеть в JVV «Случайная генерация комбинаторных структур из равномерного распределения», чтобы узнать больше об этом точка зрения.)
Простое доказательство того, что это дает правильное распределение:
Обратите внимание, чтоc ( G ∖ { e1, … , Еn - 1} ) = 1 , поскольку G ∖ { е1, … , Еn - 1} это просто край еN , Так что этот продукт телескопы и листья1 / с ( G ) ,
источник