Выборка идеального совпадения в случайном порядке

13

Предположим , у меня есть граф с M ( G ) на (неизвестно) набор совершенных паросочетаний G . Предположим, что это множество не пустое, тогда как трудно выбрать равномерно случайную выборку из M ( G ) ? Что если я в порядке с распределением, близким к равномерному, но не совсем равномерным, то существует ли эффективный алгоритм?GM(G)GM(G)

Артем Казнатчеев
источник
Вы знаете что-нибудь еще о ? Или, другими словами, вас могут заинтересовать какие-либо классы ограниченных графов? G
Юхо
@Juho Я предпочитаю результаты для общих графов, в частности для плотных графов (поэтому то, что Ювал упоминает в своем ответе, кажется многообещающим). Я думаю, что раньше я видел некоторые результаты для плоских графиков. Однако, поскольку это общий вопрос, если у вас есть ответ на некоторые интересные семейства графиков, то, вероятно, все же стоит ответить на него, поскольку другие, которые ищут этот вопрос, возможно, захотят узнать.
Артем Казнатчеев
Просто чтобы прояснить, я предполагаю, что у вас нет под рукой? M(G)
Рафаэль
@ Рафаэль, я думаю, вопрос был бы тривиальным, если бы ты это сделал. На самом деле, я думаю, что вопрос был бы относительно простым, если бы вы только что , поскольку обычно существует соответствие между подсчетом и отбором проб. Или вы имели в виду «под рукой» каким-то другим способом? |M(грамм)|
Артем Казнатчеев
Понимаю. Я нашел вашу фразу двусмысленной, которую я пытался исправить. Я правильно понял?
Рафаэль

Ответы:

8

Существует классическая статья Джеррума и Синклера (1989) о выборке идеальных совпадений из плотных графиков. В другой классической работе Джеррума, Синклера и Вигоды (2004; pdf) обсуждается выборка идеальных совпадений из двудольных графов.

В обеих этих работах используются быстро перемешивающиеся цепи Маркова, и поэтому образцы являются практически почти однородными. Я предполагаю, что равномерная выборка затруднена.

Юваль Фильмус
источник
2

Если вы предполагаете, что ваш график плоский, то для этой задачи выборки существует процедура за полиномиальное время.

Во-первых, проблема подсчета числа совершенных совпадений в P для плоских графов. ( https://en.wikipedia.org/wiki/FKT_algorithm ) (Хорошее изложение этого факта можно найти в первой главе книги Джеррума «Подсчет, выборка и интеграция».)

еграммграммееграмм . Выберите границу в соответствии с этой вероятностью и продолжайте индуктивно.

(При этом используется тот факт, что сопоставления являются «самовосстанавливаемой» структурой, поэтому проблемы подсчета и проблемы равномерной выборки по сути одинаковы. Вы можете увидеть в JVV «Случайная генерация комбинаторных структур из равномерного распределения», чтобы узнать больше об этом точка зрения.)

Простое доказательство того, что это дает правильное распределение:

с(ЧАС)ЧАСN!Nзнак равноЧАС/2

е1,...,еN

с(грамме1)с(грамм)с(грамм{е1,е2})с(грамме1)...с(грамм{е1,...,еN-1})с(грамм{е1,...,еN-2}),

Обратите внимание, что с(грамм{е1,...,еN-1})знак равно1, поскольку грамм{е1,...,еN-1} это просто край еN, Так что этот продукт телескопы и листья1/с(грамм),

Лоренцо Найт
источник