Почему случайная выборка Монте-Карло вместо равномерной выборки?

Почему так часто используют случайные выборки Монте-Карло вместо равномерной выборки?

Я предполагаю, что взятие рандомизированных образцов дает некоторую выгоду, но я не знаю, чем они могут быть.

Может ли кто-нибудь объяснить преимущество случайных выборок по сравнению с однородными выборками?

Места выборки с равномерным рисунком создадут сглаживание в выходных данных, когда есть геометрические элементы размера, сопоставимого или меньшего, чем сетка выборки. Вот почему существуют «зазубрины»: поскольку изображения состоят из равномерной квадратной сетки пикселей, и когда вы рендерите (например) угловую линию без сглаживания, она через равные промежутки пересекает строки / столбцы пикселей, создавая регулярный шаблон артефакты ступеньки в результирующем изображении.

Суперсэмплирование в более тонкой однородной сетке улучшит ситуацию, но на изображении все равно будут присутствовать похожие артефакты - только не так плохо. Вы можете увидеть это с MSAA, как на этом изображении сравнения из презентации NVIDIA о временном сглаживании:

В 8-кратном MSAA-изображении (которое не является сеткой, но все еще имеет повторяющийся рисунок) все еще явно присутствуют неровности, хотя это сглаженные неровности. Сравните с результатом TXAA, который имеет более высокое эффективное число выборок (из-за временного повторного использования) и использует гауссовский, а не блочный фильтр для накопления выборок.

С другой стороны, случайная выборка производит шум вместо наложения. Нет шаблона для местоположений выборки, поэтому нет шаблона для возникающих ошибок. И псевдоним, и шум являются ошибками из-за отсутствия достаточного количества выборок для формирования чистого изображения, но, вероятно, шум является менее визуально нежелательным артефактом.

С другой другой стороны, совершенно случайная выборка (в том смысле , одинаково распределенных случайных величин ) , как правило, демонстрирует определенный уровень слипания. Совершенно случайно, некоторые области в домене будут иметь более плотные, чем в среднем, скопления образцов, а другие области будут отсутствовать в образцах; эти области будут, соответственно, перепредставлены и недопредставлены в итоговой оценке.

Скорость сходимости процесса Монте-Карло часто можно улучшить, используя такие вещи, как стратифицированная выборка , последовательности с низким расхождением или синий шум . Это все стратегии для генерации «сгруппированных» сэмплов, которые расположены немного более равномерно, чем сэмплы iid, но без создания каких-либо регулярных паттернов, которые могут привести к наложению.

Методы Монте-Карло основаны на законе больших чисел , который гласит, что среднее случайного события, повторенное большое количество раз, сходится к ожидаемому значению (если вы подбрасываете монету миллион раз, в среднем вы получите каждую сторону, равную половине время). Интеграция Монте-Карло использует этот закон для оценки интеграла путем усреднения большого числа случайных выборок.

Использование равномерного распределения нарушит алгоритм, потому что закон, на котором он основан, больше не будет применяться.