15 Puzzle - известная головоломка, включающая в себя перемещение 15 плиток по сетке 4x4. Начиная со случайной конфигурации, цель состоит в том, чтобы расположить плитки в правильном порядке. Вот пример решенной загадки 15:

01 02 03 04
05 06 07 08
09 10 11 12
13 14 15

Каждый ход головоломки имеет вид Вверх / Вниз / Влево / Вправо. Движение «Вниз» состоит из скольжения плитки внизу над пустым местом. Движение «Вправо» состоит из скольжения плитки вправо, в пустое место. Вот как выглядит доска после ходов Вниз и Вправо.

01 02 03 04
05 06 07 08
09 10    11
13 14 15 12

Цель этой задачи - написать программу, которая может выводить серию ходов, необходимых для решения 15 головоломок. Победителем становится программа, которая решает пять тестовых случаев (ниже) за наименьшее количество ходов. Сгенерированное решение не обязательно должно быть идеальным, оно просто должно быть лучше конкурентов. Для каждого отдельного теста программа не должна занимать более десяти секунд на подходящей машине.

Ваша программа должна быть способна решить любую головоломку, которую можно решить, я просто использую эти пять тестов в качестве оценки.

Ваша программа получит нерешенную головоломку 15 в качестве входных данных в формате 2D-массива. 2D-массив может быть отформатирован в соответствии с используемым языком или изменен, если в языке нет 2D-массивов. Первым элементом первого подмассива будет число в верхнем левом углу, а последним элементом первого подмассива будет число в верхнем правом углу. А 0будет пустым пространством.

В качестве вывода ваша программа должна напечатать список ходов в том порядке, в котором они должны быть выполнены. Каждый шаг должен быть пронумерован, чтобы повысить удобство использования результатов.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Основываясь на комментариях, я позволю выводу быть либо в форме Вниз / Вверх / и т. Д. Или в форме координат части для перемещения. Поскольку это не код гольф, наиболее важной частью является решение головоломки.

Некоторые другие общие правила не предусматривают использование внешнего источника и т. Д.

Тестовый пример 1

([5,1,7,3],[9,2,11,4],[13,6,15,8],[0,10,14,12])

Пример вывода:

1: Down
2: Down
3: Down
4: Left
....

Тестовый пример 2

([2,5,13,12],[1,0,3,15],[9,7,14,6],[10,11,8,4])

Тестовый пример 3

([5,2,4,8],[10,0,3,14],[13,6,11,12],[1,15,9,7])

Тестовый пример 4

([11,4,12,2],[5,10,3,15],[14,1,6,7],[0,9,8,13])

Тестовый пример 5

([5,8,7,11],[1,6,12,2],[9,0,13,10],[14,3,4,15])

PyPy, 195 ходов, ~ 12 секунд вычислений

Вычисляет оптимальные решения с использованием IDA * с эвристикой «шаговой доступности», дополненной линейными конфликтами. Вот оптимальные решения:

 5  1  7  3
 9  2 11  4
13  6 15  8
 0 10 14 12
Down, Down, Down, Left, Up, Up, Up, Left, Down, Down, Down, Left, Up, Up, Up

 2  5 13 12
 1  0  3 15
 9  7 14  6
10 11  8  4
Left, Down, Right, Up, Up, Left, Down, Down, Right, Up, Left, Left, Down, Right, Right, Right, Up, Up, Left, Left, Down, Left, Up, Up, Right, Down, Down, Left, Up, Up, Right, Right, Right, Down, Left, Up, Right, Down, Down, Left, Left, Down, Left, Up, Up, Right, Up, Left

 5  2  4  8
10  0  3 14
13  6 11 12
 1 15  9  7
Left, Up, Up, Right, Right, Down, Left, Up, Left, Left, Down, Down, Right, Right, Up, Left, Left, Down, Down, Right, Right, Up, Right, Up, Left, Left, Up, Right, Down, Down, Right, Down, Left, Left, Up, Up, Left, Up

11  4 12  2
 5 10  3 15
14  1  6  7
 0  9  8 13
Down, Left, Down, Right, Up, Left, Left, Left, Down, Down, Right, Right, Right, Up, Left, Left, Left, Down, Right, Right, Up, Left, Up, Up, Left, Down, Down, Right, Down, Right, Up, Up, Right, Up, Left, Left, Left, Down, Right, Right, Right, Up, Left, Down, Left, Down, Left, Up, Up

 5  8  7 11
 1  6 12  2
 9  0 13 10
14  3  4 15
Up, Right, Down, Left, Left, Down, Left, Up, Right, Up, Right, Down, Down, Right, Up, Up, Left, Left, Left, Down, Down, Down, Right, Right, Up, Right, Down, Left, Up, Left, Up, Left, Down, Right, Down, Left, Up, Right, Down, Right, Up, Up, Left, Left, Up

И код:

import random


class IDAStar:
    def __init__(self, h, neighbours):
        """ Iterative-deepening A* search.

        h(n) is the heuristic that gives the cost between node n and the goal node. It must be admissable, meaning that h(n) MUST NEVER OVERSTIMATE the true cost. Underestimating is fine.

        neighbours(n) is an iterable giving a pair (cost, node, descr) for each node neighbouring n
        IN ASCENDING ORDER OF COST. descr is not used in the computation but can be used to
        efficiently store information about the path edges (e.g. up/left/right/down for grids).
        """

        self.h = h
        self.neighbours = neighbours
        self.FOUND = object()


    def solve(self, root, is_goal, max_cost=None):
        """ Returns the shortest path between the root and a given goal, as well as the total cost.
        If the cost exceeds a given max_cost, the function returns None. If you do not give a
        maximum cost the solver will never return for unsolvable instances."""

        self.is_goal = is_goal
        self.path = [root]
        self.is_in_path = {root}
        self.path_descrs = []
        self.nodes_evaluated = 0

        bound = self.h(root)

        while True:
            t = self._search(0, bound)
            if t is self.FOUND: return self.path, self.path_descrs, bound, self.nodes_evaluated
            if t is None: return None
            bound = t

    def _search(self, g, bound):
        self.nodes_evaluated += 1

        node = self.path[-1]
        f = g + self.h(node)
        if f > bound: return f
        if self.is_goal(node): return self.FOUND

        m = None # Lower bound on cost.
        for cost, n, descr in self.neighbours(node):
            if n in self.is_in_path: continue

            self.path.append(n)
            self.is_in_path.add(n)
            self.path_descrs.append(descr)
            t = self._search(g + cost, bound)

            if t == self.FOUND: return self.FOUND
            if m is None or (t is not None and t < m): m = t

            self.path.pop()
            self.path_descrs.pop()
            self.is_in_path.remove(n)

        return m


def slide_solved_state(n):
    return tuple(i % (n*n) for i in range(1, n*n+1))

def slide_randomize(p, neighbours):
    for _ in range(len(p) ** 2):
        _, p, _ = random.choice(list(neighbours(p)))
    return p

def slide_neighbours(n):
    movelist = []
    for gap in range(n*n):
        x, y = gap % n, gap // n
        moves = []
        if x > 0: moves.append(-1)    # Move the gap left.
        if x < n-1: moves.append(+1)  # Move the gap right.
        if y > 0: moves.append(-n)    # Move the gap up.
        if y < n-1: moves.append(+n)  # Move the gap down.
        movelist.append(moves)

    def neighbours(p):
        gap = p.index(0)
        l = list(p)

        for m in movelist[gap]:
            l[gap] = l[gap + m]
            l[gap + m] = 0
            yield (1, tuple(l), (l[gap], m))
            l[gap + m] = l[gap]
            l[gap] = 0

    return neighbours

def slide_print(p):
    n = int(round(len(p) ** 0.5))
    l = len(str(n*n))
    for i in range(0, len(p), n):
        print(" ".join("{:>{}}".format(x, l) for x in p[i:i+n]))

def encode_cfg(cfg, n):
    r = 0
    b = n.bit_length()
    for i in range(len(cfg)):
        r |= cfg[i] << (b*i)
    return r


def gen_wd_table(n):
    goal = [[0] * i + [n] + [0] * (n - 1 - i) for i in range(n)]
    goal[-1][-1] = n - 1
    goal = tuple(sum(goal, []))

    table = {}
    to_visit = [(goal, 0, n-1)]
    while to_visit:
        cfg, cost, e = to_visit.pop(0)
        enccfg = encode_cfg(cfg, n)
        if enccfg in table: continue
        table[enccfg] = cost

        for d in [-1, 1]:
            if 0 <= e + d < n:
                for c in range(n):
                    if cfg[n*(e+d) + c] > 0:
                        ncfg = list(cfg)
                        ncfg[n*(e+d) + c] -= 1
                        ncfg[n*e + c] += 1
                        to_visit.append((tuple(ncfg), cost + 1, e+d))

    return table

def slide_wd(n, goal):
    wd = gen_wd_table(n)
    goals = {i : goal.index(i) for i in goal}
    b = n.bit_length()

    def h(p):
        ht = 0 # Walking distance between rows.
        vt = 0 # Walking distance between columns.
        d = 0
        for i, c in enumerate(p):
            if c == 0: continue
            g = goals[c]
            xi, yi = i % n, i // n
            xg, yg = g % n, g // n
            ht += 1 << (b*(n*yi+yg))
            vt += 1 << (b*(n*xi+xg))

            if yg == yi:
                for k in range(i + 1, i - i%n + n): # Until end of row.
                    if p[k] and goals[p[k]] // n == yi and goals[p[k]] < g:
                        d += 2

            if xg == xi:
                for k in range(i + n, n * n, n): # Until end of column.
                    if p[k] and goals[p[k]] % n == xi and goals[p[k]] < g:
                        d += 2

        d += wd[ht] + wd[vt]

        return d
    return h




if __name__ == "__main__":
    solved_state = slide_solved_state(4)
    neighbours = slide_neighbours(4)
    is_goal = lambda p: p == solved_state

    tests = [
        (5,1,7,3,9,2,11,4,13,6,15,8,0,10,14,12),
        (2,5,13,12,1,0,3,15,9,7,14,6,10,11,8,4),
        (5,2,4,8,10,0,3,14,13,6,11,12,1,15,9,7),
        (11,4,12,2,5,10,3,15,14,1,6,7,0,9,8,13),
        (5,8,7,11,1,6,12,2,9,0,13,10,14,3,4,15),
    ]

    slide_solver = IDAStar(slide_wd(4, solved_state), neighbours)

    for p in tests:
        path, moves, cost, num_eval = slide_solver.solve(p, is_goal, 80)
        slide_print(p)
        print(", ".join({-1: "Left", 1: "Right", -4: "Up", 4: "Down"}[move[1]] for move in moves))
        print(cost, num_eval)

JavaScript (ES6) всего шагов 329 для всех 5 тестов в течение ~ 1 минуты

редактировать ту же стратегию, разные цели, лучшее решение. Помедленнее ...

Это более или менее то, как я решаю это вручную: используя промежуточные цели. После каждой цели относительные плитки не перемещаются снова. Каждая промежуточная цель достигается с помощью параметрической функции BSF. 2 параметра - это условие цикла L (повторить, пока истина) и условие выбора S (выбрать, какую плитку можно переместить). Шаги:

1. Поместите 1 сверху / слева
2. Место 2
3. Место 5
4. Поместите 3,4 - верхний ряд хорошо
5. Место 9,13 - левая колонка в порядке
6. Все остальные

Примечание: я не проверяю расположение плиток 14 и 15. Неразрешимые головоломки вроде [11,4,12,2,,15,10,3,5,,14,1,6,7,,0,9,8,13]14 и 15 поменялись местами.

F=b=>(
  s=[],
  [[_=>b[0]!=1, (o,p)=>b[o+p]]
  ,[_=>b[1]!=2, (o,p)=>(p=b[o+p])>1&&p]
  ,[_=>b[5]!=5, (o,p)=>(p=b[o+p])>2&&p]
  ,[_=>b[2]!=3|b[3]!=4, (o,p)=>(p=b[o+p])>2&&p!=5&&p]
  ,[_=>b[10]!=9|b[15]!=13, (o,p)=>(p=b[o+p])>5&&p]
  ,[_=>b[6]!=6|b[7]!=7|b[8]!=8|b[11]!=10|b[12]!=11|b[13]!=12|b[18]!=0, (o,p)=>(p=b[o+p])>5&&p!=9&&p!=13&&p]
  ].forEach(([L,S])=>{
    for(v={},v[b]=1,t=0,m=[];L();)
    {
      b.forEach((x,p)=>
        x=='0'&&[-1,5,1,-5].forEach((o,d)=>
          (x=S(o,p))&&(c=b.slice(0),c[p]=x,c[o+p]=0,v[k=''+c]?0:v[k]=m.push([c,s.concat(d)]))
        )
      );[b,s]=m[t++]
    }
  }),
  ,s.map((d,i)=>i+': '+'RULD'[d]).join('\n') // multi line output
  // ,s.map(d=>'RULD'[d]).join(' ') // single line output (easier to test)
)

Откройте фрагмент для тестирования или игры (только Firefox)

F=b=>(
  s=[],
  [[_=>b[0]!=1, (o,p)=>b[o+p]]
  ,[_=>b[1]!=2, (o,p)=>(p=b[o+p])>1&&p]
  ,[_=>b[5]!=5, (o,p)=>(p=b[o+p])>2&&p]
  ,[_=>b[2]!=3|b[3]!=4, (o,p)=>(p=b[o+p])>2&&p!=5&&p]
  ,[_=>b[10]!=9|b[15]!=13, (o,p)=>(p=b[o+p])>5&&p]
  ,[_=>b[6]!=6|b[7]!=7|b[8]!=8|b[11]!=10|b[12]!=11|b[13]!=12|b[18]!=0, (o,p)=>(p=b[o+p])>5&&p!=9&&p!=13&&p]
  ].forEach(([L,S])=>{
    for(v={},v[b]=1,t=0,m=[];L();)
    {
      b.forEach((x,p)=>
        x=='0'&&[-1,5,1,-5].forEach((o,d)=>
          (x=S(o,p))&&(c=b.slice(0),c[p]=x,c[o+p]=0,v[k=''+c]?0:v[k]=m.push([c,s.concat(d)]))
        )
      );[b,s]=m[t++]
    }
  }),
  //,s.map((d,i)=>i+': '+'RULD'[d]).join('\n') // multi line output
  //,s.map(d=>'RULD'[d]).join(' ') // single line output (easier to test)
  s
)
B.value=PZ.value,show()

function show(s='') {
  var b = eval(B.value)
  var t = b.map((c,i)=>'<td>'+c+'</td>').join()
  .replace(/,,/g,'</tr><tr>').replace(/,/g,'')
  G.innerHTML='<tr>'+t+'</tr>'
  S.value=s
}
function solve() {
  show('... solving ...')
  var b = eval(B.value)
  setTimeout(_=>{
    var s = F(b), zp = b.indexOf(0), sp = 0
    S.value=s.map(d=>'RULD'[d]).join(' ');
    (A=_=>{
      d=[-1,5,1,-5][m=s[sp++]]
      b[zp]=b[zp+d],zp+=d,b[zp]=0
      var t = b.map((c,i)=>'<td>'+c+'</td>').join()
      .replace(/,,/g,'</tr><tr>').replace(/,/g,'')
      G.innerHTML='<tr>'+t+'</tr>'
      if (sp<s.length)
        setTimeout(A, 300);  
    })()
  },100)
}

#D { position: relative }
#D input { position: absolute; width: 300px; top:2px; left:2px; border:0 none }
#D select { position: relative; width: 400px; height:1.8em; top:0; left:0; }
textarea{ width: 600px; height: 40px }
td{ width: 1.5em; text-align:right }

Puzzles (select or edit)
<div id=D>
<select id=PZ onchange="B.value=PZ.value,show()">
<option>[5,1,7,3,,9,2,11,4,,13,6,15,8,,0,10,14,12]</option>
<option>[2,5,13,12,,1,0,3,15,,9,7,14,6,,10,11,8,4]</option>
<option>[5,2,4,8,,10,0,3,14,,13,6,11,12,,1,15,9,7]</option>
<option>[11,4,12,2,,5,10,3,15,,14,1,6,7,,0,9,8,13]</option>
<option>[5,8,7,11,,1,6,12,2,,9,0,13,10,,14,3,4,15]</option>
</select>
<button onclick="solve()">Solve</button>
<input id=B>
</div>
<textarea id=S></textarea>
<table id=G></table>

Набор тестов В консоли Firefox / FireBug

T=~new Date
;[[5,1,7,3,,9,2,11,4,,13,6,15,8,,0,10,14,12]
,[2,5,13,12,,1,0,3,15,,9,7,14,6,,10,11,8,4]
,[5,2,4,8,,10,0,3,14,,13,6,11,12,,1,15,9,7]
,[11,4,12,2,,5,10,3,15,,14,1,6,7,,0,9,8,13]
,[5,8,7,11,,1,6,12,2,,9,0,13,10,,14,3,4,15]]
.forEach(t=>console.log(t+'',F(t)))
console.log('Time ms ',T-=~new Date)

Выход

"5,1,7,3,,9,2,11,4,,13,6,15,8,,0,10,14,12" "D D D L U L D L U R R U U L D D L U U"
"2,5,13,12,,1,0,3,15,,9,7,14,6,,10,11,8,4" "D R U L U L L U R D L D R D L U R U L D R D L U R U L U R R R D L L U R D R U L L D L D R U U L D R U R D L U L D D R R U L U L D R U L"
"5,2,4,8,,10,0,3,14,,13,6,11,12,,1,15,9,7" "R U U L D D R U L D D R U U L L D D R U L D L U U R R D L U R R D L L U L D D R U U L D D R U U U R R D L L U R R D L L L U R D D L U R D R U U L L D R D L U U"
"11,4,12,2,,5,10,3,15,,14,1,6,7,,0,9,8,13" "D L D R U L D D R U L L D L U R R D L U R U R D L U R U L L D R D L L D R U U L D R D L U R U U L D R R U L D R R U L L D L D R U U L D R R D L L U U R D R U L L"
"5,8,7,11,,1,6,12,2,,9,0,13,10,,14,3,4,15" "D D R U L L L D R U R D L U U R R D L U L U R D D L U U L D D D R U U L D D R U U U R D R U L D D L U U R D R U L D L L D R U L U R D L D R R U L L U R D D L U U"
"Time ms " 62234

Я начал работать над этой проблемой и хотел внести свой вклад в мой код до сих пор. Как заявил Гарет, проблема сравнима с головоломкой из 8 плиток, поэтому код основан на великолепном решении Кейта Рэндалла и, следовательно, на Python. Это решение может решить все 5 контрольных примеров с общей суммой менее 400 ходов, а также другие головоломки. Он содержит оптимизированное и грубое решение. Код сейчас немного раздут. Вывод сокращен как "llururd .." Надеюсь, что это полезно. http://www.penschuck.org/joomla/tmp/15Tile.txt (пояснение) http://www.penschuck.org/joomla/tmp/tile15.txt (код Python)

# Author: Heiko Penschuck
# www.penschuck.org
# (C) 2012

# import os;os.chdir('work')
# os.getcwd()

# def execfile(file, globals=globals(), locals=locals()):
#   with open(file, "r") as fh: exec(fh.read()+"\n", globals, locals)
# 
#
# execfile("tile15.py");
#
## run these
# solve_brute();
# solve();



# some boards to play with
board2=(15,14,7,3,13,10,2,9,11,12,4,6,5,0,1,8);
# best: 76(52)  
#    72(56) 
#   68(51)      uurddlurrulldrrdllluuruldrddlururulddruurdllldrurddlurdruuldrdluurdd

board3=(13, 8, 9, 4, 15, 11, 5, 3, 14, 6, 12, 7, 1, 10, 2, 0)
# best: 106(77) 
#best: 90(64)   ullldruuldrrdrlluurulldrrdldluruulddrulurrdrddlluuurdldrrulddrulldrurullldrdluurrrddllurdr

board4=(4, 8, 12, 1, 13, 7, 3, 11, 9, 15, 6, 14, 5, 2, 10, 0) ;# best  100(74)

board5=(15,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,14,0); # best 44(32)
board6=( 1, 2,  3,  4, 6, 11,  0, 12, 8, 14,  9, 13, 5, 10,  7, 15);

# testcases
board7=(5,1,7,3,9,2,11,4,13,6,15,8,0,10,14,12); #   15 (7)
board8=(2,5,13,12,1,0,3,15,9,7,14,6,10,11,8,4); #  124 (94)
board9=(5,2,4,8,10,0,3,14,13,6,11,12,1,15,9,7) ; #  72 (56)
board10=(11,4,12,2,5,10,3,15,14,1,6,7,0,9,8,13) ;# 71 (57)
board11=(5,8,7,11,1,6,12,2,9,0,13,10,14,3,4,15) ;# 99 (73)

board12=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,0,14,15); #pretty simple board
board13=(4, 10, 5, 12, 11, 7, 15, 2, 13, 1, 14, 8, 6, 3, 9, 0)

board=board3 ; # used by solve()
bboard=list(board) ;# used by solve_brute()

# init 
clean=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,0)
i=0;
solution={};
invsolution={};
E={board:0}


# derived from Keith Randall 8-tile solution
# a: a board, d: offset to move from i: index in board
def Y(a,d,i):
 b=list(a); # b is now an indexable board
 b[i],b[i+d]=b[i+d],0; # make a move (up down left right)
 b=tuple(b); # now back to searchable
 if b not in E:E[b]=a;# store new board in E

def Calc():
 ii=0;
 # memory error when x is 21
 for x in ' '*14:
  if ii>10:
   print(ii);
  ii+=1
  for a in E.copy():
   # for all boards, make possible moves (up,left,right,down) and store the new boards
   i=list(a).index(0)
   if i>3:Y(a,-4,i)
   if i%4:Y(a,-1,i)
   if i%4 <3:Y(a,1,i)
   if i<12:Y(a,4,i)

def weigh(a,goal):
    factor=[26,8,4,6, 8,8,4,4, 4,4,1,1, 3,2,1,0]
    weight=0;
    for element in a:
        i=list(a).index(element);
        ix,iy=divmod(i,4); # ist
        if element == 0:
            # special for gap
            weight=weight+ix;
            #weight+=(ix+iy)
            continue;
        i=list(a).index(element);
        ix,iy=divmod(i,4); # ist
        j=list(goal).index(element);
        sx,sy=divmod(j,4); # soll
        #k=list(a).index(0); # gap
        #kx,ky=divmod(k,4)
        # try solving from topleft to bottom right (because clean board has gap at bottomright)
        tmp= abs(sx-ix)*abs(sx-ix)*factor[j]+ abs(sy-iy)*abs(sy-iy)*factor[j]
        #tmp += ((sx!=ix )& (sy!=iy)) *(4-sx)*(4-sy)*4
        weight+=tmp
        #(10-sx-sy-sy)
        # 8*abs(sx-ix) + (16-j)*(sx!=ix)
        #print('%2d   %2d_%2d (%2d_%2d)=> %d'%(element,i,j,(sx-ix),(sy-iy),weight))
    return weight

# read numbers seperated by a whitespace
def readboard():
    global E,D,board,clean,i
    reset()
    g=[]
    for x in' '*4:g+=map(int,input().split())
    board=tuple(g)

# read 'a' till 'o'
def readasciiboard():
    global E,D,board,clean,i
    trans={"0":0,"a":1,"b":2,"c":3,"d":4,"e":5,"f":6,"g":7,"h":8,"i":9,"j":10,"k":11,"l":12,"m":13,"n":14,"o":15}
    reset()
    g=[]
    vec=tuple(input().split());
    for x in vec: g.append(trans[x])
    board=tuple(g)

def printasciiboard(a):
    trans={"0":0,"a":1,"b":2,"c":3,"d":4,"e":5,"f":6,"g":7,"h":8,"i":9,"j":10,"k":11,"l":12,"m":13,"n":14,"o":15}
    itrans={}
    for x in trans: itrans[trans[x]]=x
    g=[]
    for x in a: g.append(itrans[x])
    for i in(0,4,8,12): print('%s %s %s %s'%tuple(g[i:i+4]))

# find the board with the smallest weight
def minimum():
    global minn,E,clean
    minn=1111111;# start with a huge number
    qq=board
    for q in E:
        if weigh(q,clean) < minn: 
            minn=weigh(q,clean)
            qq=q
    return qq

# run this and printsolution()
# (you might have to reverse the order of the printed solution)
def solve():
    global start,board,E,clean,minn,solution
    start=board;
    solution={};
    E={ board:0 }
    for x in range(0,11):
        Calc(); # walks all possible moves starting from board to a depth of 10~20 moves
        if clean in E:
            print('Solution found')
            q=clean;
            tmp=[];
            while q:
                tmp.append(q)
                q=E[q]
            for x in reversed(tmp):
                solution[len(solution)]=x;
            printsolution();
            return
        q=minimum();  # calculates the "weight" for all Calc()-ed boards and returns the minimum
        #print("Len %3d"%len(E))
        print("weight %d"%minn)
#       stitch solution
        newboard=q;
        tmp=[];
        while q:
            tmp.append(q)
            q=E[q]
        for x in reversed(tmp):
            solution[len(solution)]=x;
        board=newboard;
        E={board:0}; #reset the Calc()-ed boards
    print("No Solution")


# collects and prints the moves of the solution
# from clean board to given board
# (you have to reverse the order)
def printsolution():
    global invsolution,solution,moves,clean,start
    moves=""
    g=start; # start from board to clean
    y=g
    #invsolution[clean]=0;
    for x in solution:
        # uncomment this if you want to see each board of the solution
        #print(g);
        g=solution[x];
        #sys.stdout.write(transition(y,g))
        if (transition(g,y)=="E"): continue
        moves+=transition(g,y)
        # or as squares
        #print('%10s %d %s'%("step",len(moves),transition(g,y)));
        #print(" %s -- %s "%(y,g))
        #for i in(0,4,8,12): print('%2d %2d %2d %2d'%g[i:i+4])
        y=g         
    llen=len(moves)
    print(" moves%3d "%llen)
    print(moves)
    # processing moves. funny, but occysionally ud,du,lr or rl appears due to the stitching
    while 'lr' in moves:
        a,b,c=moves.partition('lr')
        moves=a+c
        llen-=2
    while 'rl' in moves:
        a,b,c=moves.partition('rl')
        moves=a+c
        llen-=2
    while 'ud' in moves:
        a,b,c=moves.partition('ud')
        moves=a+c
        llen-=2
    while 'du' in moves:
        a,b,c=moves.partition('du')
        moves=a+c
        llen-=2
    # processing moves. concatenating lll to 3l
    while 'lll' in moves:
        a,b,c=moves.partition('lll')
        moves=a+' 3l '+c
        llen-=2
    while 'rrr' in moves:
        a,b,c=moves.partition('rrr')
        moves=a+' 3r '+c
        llen-=2
    while 'uuu' in moves:
        a,b,c=moves.partition('uuu')
        moves=a+' 3u '+c
        llen-=2
    while 'ddd' in moves:
        a,b,c=moves.partition('ddd')
        moves=a+' 3d '+c
        llen-=2

    while 'll' in moves:
        a,b,c=moves.partition('ll')
        moves=a+' 2l '+c
        llen-=1
    while 'rr' in moves:
        a,b,c=moves.partition('rr')
        moves=a+' 2r '+c
        llen-=1
    while 'uu' in moves:
        a,b,c=moves.partition('uu')
        moves=a+' 2u '+c
        llen-=1
    while 'dd' in moves:
        a,b,c=moves.partition('dd')
        moves=a+' 2d '+c
        llen-=1
    print(" processed:%3d "%llen)
    print(moves)

    return

def transition(a,b):
    # calculate the move (ie up,down,left,right)
    # between 2 boards (distance of 1 move and a weight of 1 only)
    i=list(a).index(0);
    j=list(b).index(0);
    if (j==i+1): return "l"
    if (j==i-1): return "r"
    if (j==i-4): return "d"
    if (j==i+4): return "u"
    #print("transition not possible")
    return "E"


###################################################

# below this line are functions for the brute force solution only
# added for comparision
#
# its using a global variable bboard and works destructively on it

def solve_brute():
    global bboard,board;
    bboard=list(board); # working copy
    move(1,0);move(2,1);
    move(3,14); # <== additional move, move 3 out of way
    move(4,2);move(3,6);
    gap_down();gap_down();gap_right();gap_right();gap_up();gap_up();gap_up();gap_left();gap_down();
    #first line solved
    print("first line");printbboard();
    move(5,4);move(6,5);move(7,14);move(8,6);move(7,10);
    gap_down();gap_down();gap_right();gap_right();gap_up();gap_up();gap_left();gap_down();
    #second line solved (upper half)
    print("2nd line");printbboard();
    move(9,15);move(13,8);move(9,9)
    gap_down();gap_left();gap_left();gap_up();gap_right();
    print("left border");printbboard();
    #left border solved
    move(10,15);move(14,9);move(10,10);
    gap_down();movegap(1+3*4);gap_up();gap_right();
    print("left half");printbboard();
    #left half solved

    #rotating last 4 tiles 5 times
    for x in ' '*5:
        gap_right();gap_down(); # gap is now on 15
        if (bboard==[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,0]):
            print("solution found");printbboard();          
            return;
        gap_left();gap_up();
    print("No solution found");
    printbboard();
    return

def printbboard():
    global bboard
    for i in(0,4,8,12): print('%2d %2d %2d %2d'%tuple(bboard[i:i+4]))

def gap_up():
    global bboard
    i=bboard.index(0);
    if (i<4):
        print("Err up()")
        return
    bboard[i],bboard[i-4] = bboard[i-4] , 0 ;

def gap_down():
    global bboard
    i=bboard.index(0);
    if (i>11):
        print("Err down()")
        return
    bboard[i],bboard[i+4] = bboard[i+4] , 0 ;

def gap_left():
    global bboard
    i=bboard.index(0);
    if (i%4<1):
        print("Err left()")
        return  
    bboard[i],bboard[i-1]= bboard[i-1] , 0 ;

def gap_right():
    global bboard
    i=bboard.index(0);
    if (i%4>2):
        print("Err right()")
        return
    bboard[i],bboard[i+1] = bboard[i+1] , 0 ;

def movegap(d): 
    global bboard;
    # d: destination location (0-15)
    k=bboard.index(0);
    ky,kx=divmod(k,4);
    dy,dx=divmod(d,4);
    # moving the gap
    while (ky>dy): 
        gap_up();ky-=1;
    while (ky<dy):
        gap_down();ky+=1;
    while (kx>dx):
        gap_left();kx-=1;
    while (kx<dx):
        gap_right();kx+=1;

def move(s,d):
    global bboard
    i=bboard.index(s);
    iy,ix=divmod(i,4);
    dy,dx=divmod(d,4);
    #moving a number
    while (ix<dx):
        move1right(s);
        print("1right ");
        ix+=1;
    while (ix>dx):
        move1left(s);
        ix-=1;
        print("1left ");
    while(iy<dy):
        move1down(s);
        print("1down ");
        iy+=1;
    while(iy>dy):
        move1up(s);
        print("1up");
        iy-=1;

def move1up(s):
    global bboard
    i=bboard.index(s);
    iy,ix=divmod(i,4);
    k=bboard.index(0);
    ky,kx=divmod(k,4);  
    if (ky<iy):
        # above: move 1 above, then leftorright, then 1 down
        movegap(kx+4*(iy-1))
        movegap(ix+4*(iy-1))
        movegap(ix+4*iy)
        return; # fin
    if (ky==iy):
        # if equal, then first try 1 down
        # (not nescessary if gap is right of s)
        if (kx<ix):
            if (ky<=2):
                movegap(kx+4*(iy+1))
                movegap(ix+1+4*(iy+1)); # 1right 1down of s
                movegap(ix+1+4*(iy-1)); # 1right 1up of s
                movegap(ix+4*(iy-1));# right over s
                gap_down(); # fin
                return;
            # bottom border, must go up first
            movegap(kx+4*(iy-1));
            movegap(ix+4*(iy-1));
            gap_down();
            return; # fin
        else:
            movegap(ix+1+4*iy); # move 1 right of s
            gap_up()
            gap_left()
            gap_down();
            return; # fin
    movegap(ix+1+4*ky); # move 1 right of s
    movegap(ix+1+4*(iy+1)); # move 1 right and 1 down of s
    gap_up();
    gap_up();
    gap_left();
    gap_down();

def move1left(s):
    global bboard
    i=bboard.index(s);
    iy,ix=divmod(i,4);
    k=bboard.index(0);
    ky,kx=divmod(k,4);  
    if (ky<iy):
        # if above gap move 1 over s
        if (kx<ix):
            movegap(kx+4*iy);
            movegap(ix+4*iy);
            return;# fin
        if (kx==ix):
            #gap over s
            if (ix<3):
                # try to move under s and then left
                if (iy<3):
                    movegap(ix+1+4*ky)
                    movegap(ix+1+4*(iy+1))
                    movegap(ix-1+4*(iy+1))
                    movegap(ix-1+4*iy)
                    movegap(ix+4*iy)
                    return; #fin
            # have to move left         
            movegap(kx-1+4*ky)  
            movegap(ix-1+4*iy)
            movegap(ix+4*iy)
            return;# fin
        # move 1 right of s
        if (iy==3):
            # cant go under, have to go left over
            movegap(kx+4*(iy-1))
            movegap(ix-1+4*(iy-1))
            movegap(ix-1+4*iy)
            movegap(ix+4*iy);
            return; #fin
        movegap(ix+1+4*(iy-1))
        gap_down();gap_down();gap_left();gap_left();gap_up();gap_right();
        return; #fin
    if (ky==iy):
        if (kx<ix):
            movegap(ix-1+4*iy)
            gap_right();
            return; # fin
        if (ky<3):
            gap_down();
            ky+=1;
        else:
            #have to move up
            movegap(ix+4*(iy-1))
            movegap(ix-1+4*(iy-1))
            movegap(ix-1+4*iy)
            gap_right();
            return; #fin
    # gap below s
    movegap(ix+4*(iy+1));
    gap_left();gap_up();gap_right();


def move1right(s):
    global bboard
    i=bboard.index(s);
    iy,ix=divmod(i,4);
    k=bboard.index(0);
    ky,kx=divmod(k,4);  
    if (ky<iy):
        if (kx==ix):
            movegap(kx+1+4*ky)
            movegap(kx+1+4*iy)
            movegap(ix+4*iy);
            return; #fin
        movegap(kx+4*iy)
        if (kx>ix):
            movegap(ix+4*iy);
            return; #fin
        movegap(kx+4*(iy+1))
        movegap(ix+1+4*(iy+1))
        movegap(ix+1+4*iy);
        movegap(ix+4*iy);
        return; #fin
    if (ky==iy):
        if (kx<ix):
            if (ky>2):
                # bottom row, left of s, have to move 1 up
                gap_up()
                # move 1 right 1 up of s
                movegap(ix+1+4*(ky-1));
                gap_down()
                gap_left()
                return; # fin
            # first 1 down
            movegap(kx+4*(ky+1))
            # to the right of s
            movegap(ix+1+4*(ky+1))
            gap_up()
            gap_left()
            return; # fin
        # already 1 right of s
        movegap(ix+4*iy);
        return; #fin
    # move gap 1 right and 1 down of s
    movegap(kx+4*(iy+1))
    movegap(ix+1+4*(iy+1))
    gap_up();
    gap_left();

def move1down(s):
    global bboard
    i=bboard.index(s);
    iy,ix=divmod(i,4);
    k=bboard.index(0);
    ky,kx=divmod(k,4);  
    if (ky<iy):
        # gap is over s, move it below
        if (kx==ix):
            if (ix>2):
                # right border, have to move 1 to the left
                movegap(kx+4*(iy-1))
                movegap(kx-1+4*(iy-1))
                movegap(kx-1+4*(iy+1))
                gap_up();
                return; #fin
            # move right of s
            movegap(kx+4*(iy-1))
            movegap(kx+1+4*(iy-1))
            movegap(kx+1+4*(iy+1))
            movegap(kx+4*(iy+1))
            gap_up(); #fin
        movegap(kx+4*(iy+1))
        movegap(ix+4*(iy+1))
        gap_up(); #fin
    if (ky==iy):
        gap_down();
        ky+=1;
    # gap is below s, move 1 under s
    movegap(ix+4*(iy+1))
    gap_up();
    #fin