Подсказка в вопросе: доменное имя. Чтобы решить эту проблему, вам понадобится локальный сервер, который решит эту проблему за вас, вместо того, чтобы передавать запрос в Интернет.
Вариант 1.
Настройте локальный DNS-сервер, который используют все ваши компьютеры. Этот DNS-сервер имеет запись для вашего Pi, так что любые запросы к его имени домена / имени хоста приведут к поиску локального IP-адреса. Любые другие запросы передаются в апстрим.
Вариант 2.
Если ваш маршрутизатор / шлюз (если он у вас есть) поддерживает его, вы можете использовать его в качестве DNS-сервера, упомянутого в варианте 1.
Вариант 3:
Вы можете отредактировать файл hosts, включив в него запись для вашего Pi. Это должно быть сделано на всех других компьютерах в сети, которые хотят иметь возможность выполнять такой же поиск.
Давным-давно я сделал вариант 1 сам. У меня уже был веб-сервер с запущенным DNS, поэтому было просто добавить еще одну запись. В настоящее время я использую вариант 3.
PS: Могут быть и другие доступные для платформы альтернативы.