Можете ли вы использовать Пи как генератор случайных чисел?

Я недавно видел этот вопрос в математике. Это заставило меня задуматься. Может ли Пи использоваться как генератор грубых случайных чисел? Я имею в виду, что результаты хорошо известны (как долго вычислялось число пи сейчас?), Но пи кажется довольно случайным, если брать по одной цифре за раз.

Имеет ли это какой-либо смысл вообще?

Копирование с http://www.befria.nu/elias/pi/binpi.html, чтобы получить двоичное значение числа pi (чтобы было проще преобразовать в байты, чем пытаться использовать десятичные цифры), а затем запустить его через ent Я получаю следующее для анализа случайного распределения байтов:

Энтропия = 7,954093 бит на байт.

Оптимальное сжатие уменьшит размер этого файла размером 4096 байт на 0 процентов.

Распределение хи-квадрат для 4096 выборок составляет 253,00, и случайным образом будет превышать это значение в 52,36 процента раз.

Среднее арифметическое значение байтов данных составляет 126,6736 (127,5 = случайное число).

Значение Монте-Карло для Pi составляет 3,120234604 (ошибка 0,68 процента).

Коэффициент последовательной корреляции составляет 0,028195 (полностью некоррелированный = 0,0).

Так что да, использование pi для случайных данных даст вам довольно случайные данные ... понимая, что это хорошо известные случайные данные.

Из комментария выше ...

В зависимости от того, что вы делаете, но я думаю, вы можете использовать десятичные дроби квадратного корня любого простого числа в качестве генератора случайных чисел. Они должны по крайней мере иметь равномерно распределенные цифры. - Паксин

Итак, я вычислил квадратный корень из 2 в двоичном коде, чтобы устранить тот же набор проблем. Используя итерацию Вольфрама, я написал простой Perl-скрипт

#!/usr/bin/perl
use strict;
use Math::BigInt;

my $u = Math::BigInt->new("2");
my $v = Math::BigInt->new("0");
my $i = 0;

while(1) {
    my $unew;
    my $vnew;

    if($u->bcmp($v) != 1) { # $u <= $v
        $unew = $u->bmul(4);
        $vnew = $v->bmul(2);
    } else {
        $unew = ($u->bsub($v)->bsub(1))->bmul(4);
        $vnew = ($v->badd(2))->bmul(2);
    }   

    $v = $vnew;
    $u = $unew;

    #print $i,"  ",$v,"\n";
    if($i++ > 10000) { last; }
}

open (BITS,"> bits.txt");
print BITS $v->as_bin();
close(BITS);

Выполнение этого для первых 10 соответствовало A095804, таким образом, я был уверен, что у меня была последовательность. Значение v _n, как при записи в двоичном виде с двоичной точкой, помещенной после первой цифры, дает приблизительное значение квадратного корня из 2.

Использование ent против этих двоичных данных дает:

Entropy = 7.840501 bits per byte.

Optimum compression would reduce the size
of this 1251 byte file by 1 percent.

Chi square distribution for 1251 samples is 277.84, and randomly
would exceed this value 15.58 percent of the times.

Arithmetic mean value of data bytes is 130.0616 (127.5 = random).
Monte Carlo value for Pi is 3.153846154 (error 0.39 percent).
Serial correlation coefficient is -0.045767 (totally uncorrelated = 0.0).

Ну, среди других свойств генератора случайных чисел, вы, вероятно, хотите, чтобы это было нормальное число . И несколько ответов в вопросе math.SE, которые вдохновили ваш вопрос, указывают на то, что в настоящее время считается нормальным число pi, но оно не было доказано.

Такой генератор был бы генератором псевдослучайных чисел, т. Е. При том же начальном числе результат всегда был бы одинаковым. При этом в большинстве сред при использовании стандартного генератора случайных чисел существует та же проблема псевдослучайности.

Распределение цифр, по-видимому, очень похоже на стандартные генераторы случайных чисел so, поэтому цифры π можно использовать для обычных сценариев генерации случайных чисел.

Проблема в том, что алгоритм, вероятно, будет очень медленным по сравнению с обычными генераторами случайных чисел, поэтому он не очень полезен на практике.

^{Я верю, что это правда, но у меня нет никаких доказательств. Было бы интересно (и не усложнять) сделать сравнение, основанное на большом количестве чисел.}

Случайность цифр числа Пи (или, в этом отношении, любой другой последовательности) может быть проверена так называемыми «тестами батареи». Одним из популярных тестов батареи является тест Diehard Battery Джорджа Марсальи . Существует также специальная публикация NIST 800-22, в которой описывается ряд таких тестов и результаты применения этих тестов к ряду физических констант, в том числе - lo and behold - pi для более миллиона битов. Результат числа pi приведен в Приложении B отчета и выглядит следующим образом:

Statistical Test                            P-value
Frequency                                   0.578211
Block Frequency (m = 128)                   0.380615
Cusum-Forward                               0.628308
Cusum-Reverse                               0.663369
Runs                                        0.419268
Long Runs of Ones                           0.024390
Rank                                        0.083553
Spectral DFT                                0.010186
Non-overlapping Templates (m = 9, B = 000000001)          0.165757
Overlapping Templates (m = 9)               0.296897
Universal                                   0.669012
Approximate Entropy (m = 10)                0.361595
Random Excursions (x = +1)                  0.844143
Random Excursions Variant (x = -1)          0.760966
Linear Complexity (M = 500)                 0.255475
Serial (m = 16, 2m∇Ψ )                      0.143005

Является ли пи хорошим генератором случайных последовательностей? Посмотрите на приведенные выше результаты (или найдите значения левой колонки, если вы не знаете, что они означают), и проверьте, удовлетворяет ли она вашим потребностям.