Какова частота среза фильтра скользящей средней?

Мне нужно спроектировать фильтр скользящей средней с частотой среза 7,8 Гц. Раньше я использовал фильтры скользящего среднего, но, насколько мне известно, единственным параметром, который можно ввести, является число точек, которые нужно усреднить ... Как это может относиться к частоте среза?

Обратное значение 7,8 Гц составляет ~ 130 мс, и я работаю с данными, которые выбираются с частотой 1000 Гц. Означает ли это, что я должен использовать окно фильтра скользящей средней размером 130 выборок, или я что-то здесь упускаю?

Фильтр скользящего среднего (иногда известный в разговорной речи как фильтр с вагонами ) имеет прямоугольную импульсную характеристику:

$$h[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \delta[n-k]$$

Или указано иначе:

$$h[n] = \begin{cases} \frac{1}{N}, && 0 \le n < N \\ 0, && \text{otherwise} \end{cases}$$

Помня, что частотная характеристика системы с дискретным временем равна преобразованию Фурье ее импульсной характеристики с дискретным временем , мы можем рассчитать ее следующим образом:

$$\begin{align} H(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \end{align}$$

Чтобы упростить это, мы можем использовать известную формулу для суммы первых членов геометрического ряда$N$ :

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} = \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}}$$

Что вас больше всего интересует в вашем случае, так это отклик величины фильтра,, Используя пару простых манипуляций, мы можем получить это в более легкой для понимания форме:$|H(\omega)|$

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N} \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{e^{j\omega N/2} - e^{-j\omega N/2}}{e^{j\omega /2} - e^{-j\omega /2}} \end{align}$$

Это может выглядеть не так просто для понимания. Однако, из-за личности Эйлера , напомним, что:

$$\sin(\omega) = \frac{e^{j\omega} - e^{-j\omega}}{j2}$$

Поэтому мы можем написать выше, как:

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{j2 \sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{j2 \sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \end{align}$$

Как я уже говорил ранее, вы действительно обеспокоены величиной частотного отклика. Итак, мы можем взять величину вышеупомянутого, чтобы упростить это далее:

$$|H(\omega)| = \frac{1}{N} \left|\frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}\right|$$

Примечание: мы можем исключить экспоненциальные члены, потому что они не влияют на величину результата; для всех значений . Посколькудля любых двух конечных комплексных чисел и мы можем сделать вывод, что наличие экспоненциальных членов не влияет на общий отклик величины (вместо этого они влияют на фазовый отклик системы).$|e^{j\omega}| = 1$$\omega$$|xy| = |x||y|$$x$$y$

Результирующая функция в скобках величины является формой ядра Дирихле . Иногда ее называют периодической функцией sinc , потому что она внешне напоминает функцию sinc , но вместо этого является периодической.

В любом случае, поскольку определение частоты среза несколько не указано (точка -3 дБ? -6 дБ точка? Первый боковой лепесток ноль?), Вы можете использовать приведенное выше уравнение для решения любых задач. В частности, вы можете сделать следующее:

1. Setдо значения, соответствующего отклику фильтра, который вы хотите на частоте среза.$|H(\omega)|$

2. Установите равным частоте среза. Чтобы отобразить частоту непрерывного времени в область дискретного времени, помните, что , где - ваша частота дискретизации.$\omega$$\omega = 2\pi \frac{f}{f_s}$$f_s$

3. Найдите значение которое дает вам наилучшее согласие между левой и правой сторонами уравнения. Это должна быть длина вашей скользящей средней.$N$

Если - длина скользящей средней, то приблизительная частота отсечки F c o (действительная для N > = 2 ) на нормированной частоте F = f / f s равна:$N$$F_{co}$$N >= 2$$F=f/fs$

$F_{co} = \frac {0.442947} {\sqrt{N^2-1}}$

Обратное это

$N = \frac {\sqrt{0.196202 + F_{co}^2}}{F_{co}}$

Эта формула асимптотически верна для больших N и имеет ошибку около 2% для N = 2 и менее 0,5% для N> = 4.

$f=0$

$MA(\Omega) = \frac {Sin(\Omega∗N/2)}{Sin(\Omega/2)}$

$MA(\Omega) \approx 1+(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}$$\Omega$

$\alpha=0.95264$

$MA(\Omega) \approx 1+0.907523(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}=0$$2\pi F_{co}=\Omega_{co}$

Все вышеперечисленное относится к частоте среза -3 дБ, предмету этого поста.

Иногда, хотя интересно получить профиль затухания в полосе затухания, сравнимый с профилем низкочастотного фильтра IIR 1-го порядка (однополюсный ФНЧ) с заданной частотой среза -3 дБ (такой ФНЧ также называется интегратором с утечкой, имея полюс не совсем в постоянном токе, но рядом с ним).

$F=k/N$$1/f$$1/f$

$H_{IIR} = \frac{1-Exp(-\Omega_{co})}{1-Exp(-\Omega_{co})*Exp(j \Omega)}$

Если кто-то хочет получить фильтр MA с такими же возможностями фильтрации шума, как у этого фильтра IIR, и сопоставить частоты отсечки в 3 дБ, чтобы они были одинаковыми, то при сравнении двух спектров он поймет, что пульсация полосы останова фильтра MA заканчивается ~ 3 дБ ниже, чем у БИХ-фильтра.

Чтобы получить ту же пульсацию в полосе задерживания (т.е. такое же ослабление мощности шума), что и для БИХ-фильтра, формулы могут быть изменены следующим образом:

$F_{co,IIR} = \frac {0.32} {\sqrt{N^2-1}}$

$N = \frac {\sqrt{0.1024 + F_{co,IIR}^2}}{F_{co,IIR}}$