Среднее значение во временной области БПФ и среднее значение для частотного бина

У меня есть несколько испытаний физиологических данных. Я делаю частотный анализ для анализа мощности (амплитуды) на определенных частотах, представляющих интерес. Является ли усреднение нескольких испытаний одинаковой длины с последующим взятием одного БПФ усредненного сигнала по сравнению с вычислением БПФ для каждого испытания, а затем усреднение частотных бинов одинаковым? На практике я считаю, что это не так.

В частности, сигнал, естественно, имеет сильный 1 / f компонент, и это подчеркивается, если я вычисляю БПФ каждого отдельного испытания, а затем усредняю ​​амплитуды (действительную часть) каждого частотного бина. Эти два эквивалента? Есть ли правильный способ сделать вещи? или при каких принципиальных условиях следует выбирать между усреднением по временной области и усреднением по частотным бинам?

Позвольте мне уточнить.

• Преобразование Фурье не представляет гистограмму сигнала. Преобразование Фурье - это линейное преобразование, которое переносит сигнал из временной области (комплексная функция) в частотную область (еще одна комплексная функция). Требуется сложная функция для другой сложной функции.
• Преобразование Фурье является линейным, как указывалось выше.
• Этап в ваших образцах имеет значение, как указано выше. Если данные по пробам изменяются по фазе, то вы не хотите усреднять перед выполнением преобразования Фурье, но вы также не хотите усреднять после преобразования Фурье. Вы хотите усреднить после преобразования Фурье и норма. Ниже я подробно остановлюсь на том, что именно нужно сделать.

Основная проблема заключается в том, что вопрос поставлен неправильно. Это не «я должен взять преобразование Фурье перед усреднением или после усреднения». Потому что это не имеет значения из-за линейности преобразования Фурье.

Правильный вопрос, который нужно задать: «Должен ли я взять амплитуду преобразования Фурье до усреднения или после усреднения». На этот вопрос ответ раньше.

Вот подробности.

Предположим, что ваши выборочные данные представлены последовательностями:

$d_1=d_1[n_1],d_1[n_2],...d_1[n_N]$

$d_2=d_2[n_1],d_2[n_2],...d_2[n_N]$

$d_3=d_3[n_1],d_3[n_2],...d_3[n_N]$

...

$d_M=d_M[n_1],d_M[n_2],...d_M[n_N]$

где - данные из M испытаний, а - выборочные моменты времени, тогда:$d_1,...d_M$$n_1,...n_N$

$F_1 = \sum_{j=1}^M{|\mathcal{F}\{d_j\}|} \neq |\mathcal{F}\{\sum_{j=1}^M{d_j}\}| = F_2$

Таким образом, хотя преобразование является линейным,не является.$\mathcal{F}$$|\mathcal{F}|$

Кроме того, хотя является реальным для всех , нет, ноявляется.$d_j[n_i]$$i,j$$\mathcal{F}\{d_j\}$$|\mathcal{F}\{d_j\}|$

Что касается того, что вы должны сделать, вы должны взять преобразование Фурье отдельных испытаний (через БПФ), получить амплитуду отдельных испытаний и усреднить их вместе.

Наконец, что такое . - это краткий термин для частотного спектра «естественных» сигналов (обычно люди думают об изображениях).$1/f$$1/f$

Когда люди говорят, что есть большой компонент , это означает, что амплитуда как функция частоты выглядит как . Это полностью волнистые ... вероятно, от биолога: p$1/f$$1/f$

Обратное преобразование Фурье является некоторой функцией знака, но это бесполезно. Это мнимая функция знака! Вещественные функции генерируют симметричное преобразование Фурье.$1/f$

Фактически, говоря, что спектр , говорит вам кое-что о сигнале, но он не позволяет вам восстановить сигнал. Все, что вы знаете, это то, что, Это не позволяет однозначно определить потому что вся информация о фазе исчезла, и мы знаем, что структура сигнала сильно зависит от его фазы .| F { x ( t ) } | = | 1 / ф | х ( т $1/f$$|\mathcal{F}\{x(t)\}| = |1/f|$$x(t)$

Что говорит ? Просто он содержит много низких частот и немного высоких частот.$1/f$

Не менее важный вопрос: что дает вам усреднение? и что более важно, как интерпретировать результат? Настройтесь на завтра для более углубленного обсуждения: p

Во-первых, БПФ - это алгоритм. Преобразование называется преобразованием Фурье! Он представляет гистограмму сигналов. В дискретном случае высокое показание в частотных областях означает много энергии на этой частоте.

Не следует усреднять данные до БПФ, поскольку информация о фазе приведет к значительным изменениям в данных.

Представьте себе 2 образца, каждый из которых состоит из чистого косинуса. В реальном мире вы никогда не захватите этот косинус в одной и той же начальной точке. Один косинус будет смещен относительно другого (или оба имеют разные сдвиги относительно начала. Математически это означает, что y1 = cos (wt-A) y2 = cos (wt-B), где A & B - сдвиги. В вашей модели эти два лучше показать как одно и то же. С небольшой математикой я могу выбрать эти значения так, чтобы y2-y1 = 0. Среднее значение нуля равно нулю и совсем не то, что вы хотите. Это фазовая проблема.

Если ваша цель - найти средний спектр, который вы должны усреднить по спектрам, не усредняйте сигналы!

Если я не полностью от основания или неправильно понять ваш вопрос, ответ да : По линейности ДПФА, усреднение сигналов во время , а затем принимать ДПФ среднего эквивалентен усреднением ДПФА сигналов.

Чтобы показать это, давайте определим некоторые переменные:

• $x_{n}[\ell]$ : образец пробной временной области в момент времени$\ell^{th}$$n$
• $X_{k}[\ell]$ : пробная выборка в частотной области на частоте$\ell^{th}$$k$

«Средний» сигнал во временной области задается как . Взяв его DFT, мы имеем$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} x_{n}[\ell]$

$\sum_{n=0}^{N-1} \frac{1}{L} \sum_{\ell}^{L} x_{n}[\ell] e^{-i 2 \pi k n / N}$ .

Переключая порядок суммирования, мы можем написать

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} \sum_{n=0}^{N-1} x_{n}[\ell] e^{-i 2 \pi k n / N},$

но это так же, как

$\frac{1}{L} \sum_{\ell=0}^{L} X_{k}[l]$

что аналогично усреднению ДПФ каждого тривала. Это то, что мы хотели показать.