Улучшение SNR с использованием методов DSP

Поскольку вы указали, что спектр мощности вашего фонового шума плоский, я предполагаю, что он белый . Основным недостатком вашего текущего подхода является то, что вы отбрасываете большую часть мощности сигнала; даже с эффектом ограничения полосы входного диапазона, показанным на диаграмме откликом шага экспоненциального нарастания, одиночная выборка АЦП в конце округленного импульса обеспечивает снимок входа приемника, который довольно локализован во времени. Вы можете воспользоваться большей мощностью сигнала, выбрав более высокую частоту и применив согласованный фильтр с более высокой частотой дискретизации.

Теория:

Вы можете рассматривать это как относительно простую проблему в теории обнаружения . В каждом интервале символов ваш приемник должен выбирать между двумя гипотезами:

\begin{array}{rcl} H_{0} & : & s i g n a l i s n o t p r e s e n t \\ H_{1} & : & s i g n a l i s p r e s e n t \end{array}

$\begin{eqnarray*} H_0 &:& signal \ is \ not \ present \\ H_1 &:& signal \ is \ present \end{eqnarray*}$

Проблема такого рода часто решается с использованием байесовских правил принятия решений , которые пытаются принять оптимальное решение в соответствии с определенной мерой риска. Это обеспечивает основу, в которой можно оптимально принимать решения об обнаружении на основе гибкого набора критериев. Например, если ваша система имеет большие штрафы за неспособность обнаружить сигнал, если он действительно присутствует (т. Е. Вы выбираете когда истинно), вы можете встроить его в свое правило принятия решений, если это необходимо. $H_0$ $H_1$

Для такой проблемы обнаружения, как ваша, когда вы пытаетесь выбрать между нулями и единицами на выходе приемника, штраф обычно считается равным (вывод нуля, когда единица была передана, и наоборот, «одинаково болит») ). Байесовский подход в этом случае сводится к оценке максимального правдоподобия (также описанной здесь ): вы выбираете наиболее вероятную гипотезу с учетом наблюдения, сделанного вашим приемником. То есть, если величина, которую соблюдает ваш получатель, равна , тогда он будет принимать решение на основе гипотезы, которая имеет наибольшее значение функции правдоподобия . Для бинарного решения вместо этого можно использовать отношение правдоподобия: $x$

Λ (x) = \frac{P (x | H_{0} i s t r u e)}{P (x | H_{1} i s t r u e)} = \frac{P (x | s i g n a l i s n o t p r e s e n t)}{P (x | s i g n a l i s p r e s e n t)}

$\Lambda(x) = \frac{P(x\ |\ H_0 \ is \ true)}{P(x\ |\ H_1 \ is \ true)} = \frac{P(x\ |\ signal \ is \ not \ present)}{P(x\ |\ signal \ is \ present)}$

Используя вышеупомянутую модель, для каждого наблюдения канала оптимальный приемник решит, что сигнал не присутствует (следовательно, выдает ноль), если отношение правдоподобия больше единицы (и, следовательно, сигнал был наиболее вероятным не присутствовать на основании наблюдения), и наоборот. $x$ $\Lambda(x)$

Остается модель интересующего сигнала и любые другие компоненты в статистике обнаружения приемника которые могут повлиять на его решения. Для таких цифровых коммуникаций это может быть смоделировано следующим образом: $x$

\begin{array}{rcl} H_{0} & : & x = N \\ H_{1} & : & x = s + N \end{array}

$\begin{eqnarray*} H_0 &:& x = N \\ H_1 &:& x = s + N \end{eqnarray*}$

где - случайная переменная, взятая из некоторого распределения (часто предполагаемого как гауссиана нулевым средним), а - детерминистическая составляющая наблюдения, обусловленная искомым сигналом. Следовательно, распределение наблюдаемого получателя изменяется в зависимости от того, верна ли гипотеза или . Чтобы оценить отношение правдоподобия, вам нужна модель того, каковы эти распределения. Для случая Гаусса, упомянутого выше, математика выглядит следующим образом: $n$ $s$ $x$ $H_0$ $H_1$

Λ (x) = \frac{P (x | H_{0} i s t r u e)}{P (x | H_{1} i s t r u e)} = \frac{P (x | x = N)}{P (x | x = s + N)}

$\Lambda(x) = \frac{P(x\ |\ H_0 \ is \ true)}{P(x\ |\ H_1 \ is \ true)} = \frac{P(x\ |\ x = N)}{P(x\ |\ x = s + N)}$

Λ (x) = \frac{P (x | H_{0} i s t r u e)}{P (x | H_{1} i s t r u e)} = \frac{e^{\frac{- x^{2}}{2 σ^{2}}}}{e^{\frac{- (x - s)^{2}}{2 σ^{2}}}}

$\Lambda(x) = \frac{P(x\ |\ H_0 \ is \ true)}{P(x\ |\ H_1 \ is \ true)} = \frac{e^{\frac{-x^2}{2 \sigma^2}}}{e^{\frac{-(x - s)^2}{2 \sigma^2}}}$

где - дисперсия члена гауссовского шума. Обратите внимание, что аддитивная составляющая сигнала имеет функцию только смещения среднего результирующего гауссова распределения . Отношение логарифмического правдоподобия может использоваться, чтобы избавиться от экспонент: $\sigma^2$ $x$

\ln (Λ (x)) = \ln (\frac{e^{\frac{- x^{2}}{2 σ^{2}}}}{e^{\frac{- (x - s)^{2}}{2 σ^{2}}}}) = (\frac{- x^{2}}{2 σ^{2}}) - (\frac{- (x - s)^{2}}{2 σ^{2}})

$\ln(\Lambda(x)) = \ln\left(\frac{e^{\frac{-x^2}{2 \sigma^2}}}{e^{\frac{-(x - s)^2}{2 \sigma^2}}}\right) = \left(\frac{-x^2}{2 \sigma^2}\right) - \left(\frac{-(x - s)^2}{2 \sigma^2}\right)$

Напомним, что наше решение о выборе выбрало если отношение правдоподобия было больше единицы. Эквивалентным правилом принятия решения о правдоподобии является выбор если правдоподобие больше нуля. Некоторая алгебра показывает, что решающее правило сводится к: $H_0$ $H_0$

\begin{array}{rcl} x < \frac{s}{2} \to c h o o s e H_{0} \\ x > \frac{s}{2} \to c h o o s e H_{1} \end{array}

$\begin{eqnarray*} x < \frac{s}{2} \rightarrow choose\ H_0 \\ x > \frac{s}{2} \rightarrow choose\ H_1 \end{eqnarray*}$

$x = \frac{s}{2}$ $s$ $T = \frac{s}{2}$ $x$ $T$

Практика:

$s$

Как я упоминал ранее, шум часто считается гауссовым, потому что с нормальным распределением очень легко работать: сумма группы независимых гауссианов по-прежнему гауссова, а их среднее значение и дисперсии также просто добавляются. Кроме того, статистики распределения первого и второго порядка достаточно для их полной характеристики (учитывая среднее значение и дисперсию гауссовского распределения, вы можете написать его pdf ). Так что, надеюсь, это достойное приближение по крайней мере для вашего приложения.

$s$ $N$ $s$

\begin{array}{rcl} P_{e} & = & P (c h o o s e H_{0} | H_{1} t r u e) P (H_{1} t r u e) + P (c h o o s e H_{1} | H_{0} t r u e) P (H_{0} t r u e) \\ = & \frac{1}{2} P (x < \frac{s}{2} | x = s + N) + \frac{1}{2} P (x > \frac{s}{2} | x = N) \\ = & \frac{1}{2} F_{x | x = s + N} (\frac{s}{2}) + \frac{1}{2} (1 - F_{x | x = N} (\frac{s}{2})) \end{array}

$\begin{eqnarray*} P_e &=& P(choose \ H_0 \ |\ H_1\ true) P(H_1\ true) + P(choose \ H_1 \ |\ H_0\ true) P(H_0\ true) \\ &=& \frac{1}{2} P(x < \frac{s}{2} \ |\ x = s + N) + \frac{1}{2} P(x > \frac{s}{2} \ |\ x = N) \\ &=& \frac{1}{2} F_{x\ |\ x = s + N}\left(\frac{s}{2}\right) + \frac{1}{2} \left(1 - F_{x\ |\ x = N}\left(\frac{s}{2}\right)\right) \end{eqnarray*}$

$F_{x\ |\ x = s + N}(z)$ $x$ $x = s + N$

\begin{array}{rcl} P_{e} & = & \frac{1}{2} (1 - Q (\frac{\frac{s}{2} - s}{σ})) + \frac{1}{2} Q (\frac{\frac{s}{2}}{σ}) \\ = & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- Q (\frac{\frac{s}{2} - s}{σ}) + Q (\frac{\frac{s}{2}}{σ})) \\ = & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- Q (\frac{- s}{2 σ}) + Q (\frac{s}{2 σ})) \\ = & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- Q (\frac{- S N R}{2}) + Q (\frac{S N R}{2})) \\ = & Q (\frac{S N R}{2}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} P_e &=& \frac{1}{2} \left(1 - Q\left(\frac{\frac{s}{2} - s}{\sigma}\right)\right) + \frac{1}{2} Q\left(\frac{\frac{s}{2}}{\sigma}\right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(-Q\left(\frac{\frac{s}{2} - s}{\sigma}\right) + Q\left(\frac{\frac{s}{2}}{\sigma}\right)\right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(-Q\left(\frac{-s}{2\sigma}\right) + Q\left(\frac{s}{2\sigma}\right)\right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(-Q\left(\frac{-SNR}{2}\right) + Q\left(\frac{SNR}{2}\right)\right) \\ &=& Q\left(\frac{SNR}{2}\right) \end{eqnarray*}$

$Q(x)$

Q (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{x}^{\infty} e^{\frac{- z^{2}}{2}} d z

$Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x}^{\infty} e^{\frac{-z^2}{2}} dz$

$1$ $SNR$ $\frac{s}{\sigma}$ $SNR$ $s$ $\sigma$

$s$ $x_1$ $x_2$ $x_1$ а сумма двух независимых?

S N R_{1} = \frac{s}{σ}

$SNR_1 = \frac{s}{\sigma}$

S N R_{2} = \frac{2 s}{\sqrt{2 σ}} = \sqrt{2} S N R_{1}

$SNR_2 = \frac{2s}{\sqrt{2 \sigma}} = \sqrt{2}SNR_1$

$\frac{E_s}{N_0}$

Более точно, можно показать, что согласованный фильтр имеет импульсную характеристику, которая идентична по форме (то есть «согласована», с единственным тонким исключением, состоящим в том, что импульсная характеристика обращена во времени) к форме импульса, которую приемник принимает видит (таким образом, он взвешивает больше выборок, которые имеют большие компоненты сигнала). Эта форма является функцией формы передаваемого импульса, а также любых эффектов, вызванных внешним интерфейсом канала или приемника, таких как ограничение полосы или многолучевое распространение .

$x$

$s$

Одна простая реализация селектора порогов для OOK может вычислить среднее значение многих наблюдений. Предполагая, что нули и единицы одинаково вероятны, ожидаемое значение результирующей случайной величины составляет половину амплитуды сигнала, которая является пороговым значением, которое вы ищете. Выполнение этой операции над скользящим окном может позволить вам адаптироваться к различным фоновым условиям.

Обратите внимание, что это предназначено только для ознакомления высокого уровня с проблемами, присущими цифровой связи в отношении теории обнаружения. Это может быть очень сложная тема с большой статистикой; Я попытался облегчить понимание, оставаясь верным основной теории. Для лучшего объяснения, возьмите хороший учебник, такой как Склар .

Джейсон Р
источник

спасибо за подробный ответ, я многому у него научился. Я хотел бы попросить несколько разъяснений. Я получаю балл более чем за 1 образец на продолжительности. В этом случае, как выглядит согласованный фильтр? Скажем, у меня есть три образца x1, x2, x3 (x3 в хвостовой части и x1 в начале). Основываясь на том, что я прочитал, я должен сверить это с тем же, но симметричным сигналом формы. Можете ли вы объяснить эту часть? [Я думаю, что знаю ответ, но только для того, чтобы убедиться] Вторая часть, я знаю, каков будет динамический диапазон входящего сигнала, так как я провел измерения. Могу ли я использовать этот диапазон для установки порога?

Фрэнк

Согласованный фильтр - это способ реализации скользящей взаимной корреляции между сигналом, видимым вашим приемником, и ожидаемой формой импульса. Диаграмма, показанная в вашем вопросе, иллюстрирует импульс, воспринимаемый АЦП как экспоненциальный рост; если это действительно ваша модель для того, что видит приемник, то соответствующий согласованный фильтр будет иметь ту же форму, только обращенную во времени (изменение времени превращает операцию свертки в корреляцию). Если внешний интерфейс приемника заметно не искажает импульс, вы можете использовать «идеальный» прямоугольный согласованный фильтр, который проще реализовать.

Джейсон Р

Что касается вашего второго вопроса: да, если вы априори знаете ожидаемую амплитуду компонента сигнала, то вы можете использовать это для выбора порога. Используя статистическую модель системы (основанную на типе присутствующего шума), вы можете рассчитать частоту ошибок по битам как функцию отношения сигнал / шум (которое пропорционально амплитуде сигнала). Если основным источником является тепловой шум вашего приемника, то обычно используется белый гауссов шум.

Джейсон Р

Мой приемник имеет BPF, который режет высокочастотные сигналы. BPF округляет начальный всплеск импульса, и он становится более экспоненциальным по своей природе. Я могу отключить BPF, но это приведет к появлению высокочастотного шума, который в настоящее время отсутствует в цепи. Похоже, у меня есть компромисс, как я могу определить, какой путь лучше. (т.е. удалить BPF и использовать согласованный фильтр для импульса, не удалять BPF и использовать согласованный фильтр для экспоненциального роста)

Фрэнк,

Я вручил вам награду, большое спасибо за отличный ответ.

Фрэнк

Улучшение SNR с использованием методов DSP

Ответы:

Теория:

Практика: