Оптимально подобранный фильтр без ISI

Учитывая фильтр, используемый для формирования цифрового сигнала , и учитывая, что мы не хотим, чтобы комбинация фильтров вызывала какой-либо ISI, какой «согласованный» фильтр q ( x ) будет максимизировать SNR?$p(x)$$q(x)$

Согласованные фильтры используются в цифровой связи для максимизации отношения сигнал / шум. Часто для формирования сигнала используется фильтр с поднятым корневым косинусом, поскольку он ограничен в частотном пространстве, и тот же фильтр может применяться к принимаемому сигналу для улучшения отношения сигнал / шум (SNR) без образования межсимвольных символов. -интерференция (ISI).

Однако если для формирования сигнала используется менее оптимальный фильтр, то использование того же фильтра на приемнике может привести к ISI. Не сразу очевидно, каков наилучший выбор фильтра на принимающей стороне.

Я понимаю, что SNR максимизируется путем максимизации , поэтому я хочу , чтобы максимизировать это удовлетворяя ограничение , что фильтры вызывают не ISI ( р ( х ) * д ( х ) = 0 для x = k T , k - целое число, T - ширина символа).$\int{p(x)q(x)dx}$$p(x)*q(x) = 0$$x=kT$$k$$T$

Предположительно, это можно сделать, решив уравнение Эйлера-Лагранжа с некоторыми множителями Лагранжа для ограничений. Есть ли более простой способ, или я ошибаюсь, или иду в неправильном направлении?

Для случая линейной модуляции на канале AWGN с равновероятными символами (очень распространенный случай) оптимальный подход состоит в том, чтобы действительно использовать фильтр, который соответствует форме сигнала символа, то есть:

$E_s$$-E_s$

Энергия шума на выходе фильтра в момент дискретизации не зависит от формы импульсной характеристики фильтра во временной области, а зависит только от общей энергии импульсной характеристики (как отмечалось ранее, как правило, единицы). Следовательно, отношение сигнал / шум максимизируется путем максимизации количества энергии сигнала на выходе фильтра в момент дискретизации. Выбрав фильтр приемника, который должен соответствовать форме символа, мы сделали это, поскольку форма сигнала символа имеет максимальную корреляцию с импульсной характеристикой фильтра, которая имеет идентичную форму. Таким образом, согласованный фильтр обеспечивает максимальное SNR для случая канала AWGN.

С этим размахом рук в сторону (вы определенно можете добиться этого с большей математической строгостью, но я инженер, и это бесплатный сервис; если вы хотите углубиться в детали, проверьте любую теорию цифровой связи текст), вы можете подумать, что я забыл, что вы спросили о неидеальном случае ISI. Не бойтесь, потому что я утверждаю, что если вы знаете форму передаваемого импульса, согласованный фильтр по-прежнему является оптимальным выбором для канала AWGN.

$p(x)$$q(x)$

Конечно, вы обычно не знаете наверняка, какими были предыдущие несколько символов; если вы это сделали, то у вас может быть достаточно высокий SNR, чтобы вашим ISI можно было пренебречь. В более интересном случае вы не можете сделать это предположение. Вместо этого используется метод обнаружения последовательности с максимальным правдоподобием с использованием алгоритма Витерби. Этот процесс называется выравниванием по Витерби , потому что в этой модели ISI, индуцированный формой импульса, обрабатывается как мягко свернутый сверточный код, который применяется к вашей форме передаваемого сигнала. Продолжительность ISI в эквалайзере Витерби определяет требуемое количество состояний алгоритма, аналогично длине ограничения в сверточном коде.

Этот подход часто используется в системах, которые имеют неоптимальную форму импульса, которую вы отметили; одним примечательным примером является GSM (который использует форму гауссова импульса, которая проходит через несколько интервалов символа). Одна замечательная ссылка на эту тему была опубликована Sklar в 2003 году:

Б. Скляр, «Как я научился любить решетку», журнал IEEE Signal Processing, с. 87-102, май 2003 г.