Вопрос о ковариационной матрице 2 пространственных сигналов

9

Каждый раз, когда я думаю, что понял ковариационную матрицу, кто-то другой приходит с другой формулировкой.

В настоящее время я читаю эту статью:

Дж. Бенести, "Алгоритм адаптивного разложения по собственным значениям для пассивной локализации акустического источника" , Дж. Акуст. Soc. Am. Том 107 , Выпуск 1, с. 384-391 (2000)

и я столкнулся с формулировкой, которую я не совсем понимаю. Здесь автор строит ковариационную матрицу между двумя сигналами и . Эти два сигнала от разных датчиков.х 2Икс1Икс2

Для ковариационной матрицы одного сигнала я знаю, что мы можем получить ее, вычислив матрицу регрессии, а затем умножив ее на эрмитову той же матрицы и разделив на , длину исходного вектора. Размер матрицы ковариации здесь может быть произвольным, с максимальным размером будучи .NN×N

Для ковариационной матрицы двух пространственных сигналов, если мы поместим первый сигнал в первый ряд, а второй сигнал во второй ряд матрицы, затем умножим на ее эрмитову, а также разделим на , тогда получим ковариационная матрица обоих пространственных сигналов.N2×2

Однако в этой статье автор вычисляет то, что выглядит как четыре матрицы: и , а затем помещает их в суперматрицу и называет ее ковариационной матрицей. ,р11,р12,р21р22

Почему это так? Вот изображение текста:

введите описание изображения здесь

ошалевший
источник

Ответы:

6

Если у вас есть два сигнальных вектора и x 2 [ n ] каждый из N элементов, то мы можем рассмотреть две разные вещи.Икс1[N]Икс2[N]N

  1. Как соотносятся величины ? В частности, когда сигналы являются шумными, а шумы можно считать совместно стационарными (или совместно стационарными в широком смысле), эти величины можно использовать для оценки дисперсии шума в двух сигналах, а также ковариации шумов при любое фиксированное время выборки. Это то, что вы получаете от 2 × 2ΣNзнак равно1NИкся[N]ИксJ[N], я,J{1,2}2×2 ковариационная матрица

    р2×2знак равно[σ12ССσ22],
    Шум в имеет дисперсию σ 2 1 = R 1 , 1, которая может отличаться от R 2 , 2 = σ 2 2 , дисперсию шума в x 2 [ n ] . Но шумы связаны с ковариацией R 1.2Икс1[N]σ12знак равнор1,1р2,2знак равноσ22Икс2[N] . Теперь, если мы планируем делать то, что происходит при n , игнорируя все, что может происходить при n - 1 или n + 1 и т. Д., Тогда это вся информация, которая нам нужна.р1.2знак равнор2,1знак равноСNN-1N+1
  2. Если известно, что шум не является (или предполагается, что) белым шумом, так что выборки шума из разных моментов дискретизации являются независимыми (и, следовательно, некоррелированными), или мы просто предполагаем некоррелированные выборки шума, существует информация, которую мы игнорируем, не учитывая корреляцию между и x 1 [ м ] , выборки из одного и того же процесса в разное время или в разных местах и ​​корреляция между x 1 [ n ] и x 2 [ м ]Икс1[N]Икс1[м]Икс1[N]Икс2[м]образцы из двух процессов в разное время или в разных местах. Эта дополнительная информация может привести к лучшей оценке / решению. Теперь у нас есть всего выборок шума и, следовательно, 2 N × 2 N ковариационной матрицы для рассмотрения. Если мы организуем дела так, как это сделали авторы, мы получим R full = E [ X X T ], где X = ( x 1 [ 1 ] , x 1 [ 2 ] , , x 1 [2N2N×2Nрполныйзнак равноЕ[ИксИксT]x 2 ], где R x i , x j = E [ x i x T j ] , x j [ 2 ] , ,

    Иксзнак равно(Икс1[1],Икс1[2],...,Икс1[N],Икс2[1],Икс2[2],...,Икс2[N])Tзнак равно(Икс1,Икс2)T
    и поэтому
    рполныйзнак равно[рИкс1,Икс1рИкс1,Икс2рИкс2,Икс1рИкс2,Икс2]
    . Обратите внимание, что R x i , x j , по сути, является функциейвзаимной корреляции ( x i [ 1 ] , x i [ 2 ] , , x i [ N ] ) и ( x j [ 1рИкся,ИксJзнак равноЕ[ИксяИксJT]рИкся,ИксJ(Икся[1],Икся[2],...,Икся[N]) если i j, и функцияавтокорреляции,если i = j . Если шумовые процессы являются белыми и некоррелированными, за исключением случаев, когда n = m , то R fullR simple = [ σ 2 1 I C I C I σ 2 2 I ] где(ИксJ[1],ИксJ[2],...,ИксJ[N])яJязнак равноJNзнак равном
    рполныйрпростознак равно[σ12яСяСяσ22я]
    это N × N единичная матрица, и σ 2 1 , сг 2 2 и С являются такимикак определено в пункте 1 выше. Насколько реалистичной может быть эта модель шума, может определить конечный пользователь. Если модельявляетсяреалистичным, то ничего не получил, глядя на 2 N × 2 N матрица R полная , поскольку вся информация есть в 2 × 2 матрицы R 2 × 2яN×Nσ12,σ22С2N×2Nрполный2×2р2×2пункта 1 выше. То же самое, если модель нереалистична, но мы не намерены (или не можем) использовать всю информацию в полной матрице R full ; мы обойдемся только с σ 2 1 , σ 2 2 и C части 1, для которых нам не нужен R полный или R простой , просто R 2 × 2 .2N×2Nрполныйσ12,σ22Срполныйрпростор2×2
Дилип Сарватэ
источник
Спасибо. Во-первых, не должна ли сигма в (1) сказать от n = 0 до N-1? (Не от i = 1 до n).
Спейси
Я не уверен, что все еще понимаю, что / почему мы делаем это таким образом. Вы говорите, что для (1), так как шумы в обоих векторах полностью независимы друг от друга, мы должны использовать этот метод и, таким образом, получить ковариационную матрицу 2x2, но во втором случае (2), так как шумы в векторах не являются независимыми, мы должны объединить оба вектора и затем вычислить их матрицу ковариантности? Но почему? Боюсь, я до сих пор не понимаю мотивацию здесь ...
Спейси
Спасибо, я прочитаю это снова. Кроме того, индекс для сигмы должен быть 'n', а не 'i'.
Спейси
р2Икс2,рполныйрпросто
Икс1Икс2