Вычислить

13

Функция имеет особенность вблизи . Эту особенность можно снять, однако: для следует иметь , поскольку И, следовательно, Однако форма не только не определена в , он также численно нестабилен в окрестности этой точки; чтобы оценить для очень малых численно, можно использовать разложение Тейлора, то есть усечение вышеупомянутого степенного ряда. $f \colon x \mapsto (e^x-1)/x$ $x = 0$ $x = 1$ $f(x) = 1$

e^{x} = \sum_{k = 0} \frac{x^{k}}{k!}

$e^x = \sum_{k=0} \frac{x^k}{k!}$

(e^{x} - 1) / x = \sum_{k = 1} \frac{x^{k - 1}}{k!}

$(e^x - 1)/x = \sum_{k=1} \frac{x^{k-1}}{k!}$

(e^{x} - 1) / x

$(e^x-1)/x$

x = 0

$x = 0$

f (x)

$f(x)$

x

$x$

Q : у функции есть имя? Другими словами, это общая проблема? $f$

Q : Кто-нибудь знает библиотеку C / C ++, которая хорошо справляется с этой ситуацией, то есть использует разложение Тейлора соответствующей степени около 0, а другое представление далеко от нуля?

c++ c анонимный
источник

19

Возможно, можно начать с функции которая является частью стандарта C99, и точно вычисляет вблизи . $\mathtt{expm1}$ $e^x-1$ $x=0$

n00b
источник

17

Это пример ошибки отмены. Стандартная библиотека C (начиная с C99) включает функцию, expm1которая позволяет избежать этой проблемы. Если вы используете expm1(x) / xвместо (exp(x) - 1.0) / x, вы не будете испытывать эту проблему (см. График ниже). <code> fabs (expm1 (x) / x - (exp (x) - 1.0) / x) </ code>

Детали и решение этой конкретной проблемы подробно обсуждаются в разделе 1.14.1 Точность и устойчивость численных алгоритмов . Это же решение объясняется также на странице 19 статьи В. Кахана под названием « Насколько бесполезны оценки бездумного округления при вычислении с плавающей запятой?». , Фактическая реализация expm1в библиотеке GNU C отличается от подхода, описанного в ссылках выше, и тщательно документирована в исходном коде .

Хуан М. Белло-Ривас
источник

1

Спасибо, это как раз то, что мне нужно! К сожалению, я могу принять только один ответ ...

анонимный

Конечно! Нет проблем :-)

Хуан М. Белло-Ривас

3

Чтобы ответить на ваш первый вопрос, нет, у функции нет имени (по крайней мере, не очень известного).

Как уже упоминалось, лучший способ вычислить функцию - это обработать несколько особых случаев. Вот как любая библиотека будет вычислять функцию.

Случай 0: х = 0, возврат 1.
$|x|<\delta$ $1+x/2$ $\delta$ double2e-85e-4
Случай еще: возврат expm1(x)/x.

Вы можете быть более изощренными и в особом случае иметь больше вещей с усеченными сериями Тейлора, но, вероятно, это того не стоит. На самом деле, не совсем ясно, что дело 1 нужно обрабатывать отдельно, поскольку, как указало k20, отмена является безопасной. Тем не менее, обработка этого отдельно позволила бы мне чувствовать себя более уверенно.

Виктор Лю
источник

2

Я помню этот вопрос, который был задан ранее на этом сайте, и удивительно, что ответ заключается в том, что вам нужно только точное равенство нулю в особых случаях. Ошибки сводятся к нулю. У меня нет ссылки.

Да, этот ответ был совершенно неверным. Я не уверен, почему за это проголосовали так много, вероятно, потому что это было заявлено так авторитетно. Я нашел ссылку, которую я имел в виду. Это было на математике stackexchange здесь , а не на SciComp stackexchange. Формула expm1отмены без ошибок приведена в ответе JM и использует u = exp(x)преобразование.

k20
источник

x

$x$

d x

$dx$

(e^{d x} - 1) / d x

$(e^{dx} - 1)/dx$

(1 + d x - 1) / d x

$(1+dx - 1)/dx$

1

$1$

1

d x

$dx$

1 + d x = 1

$1+dx=1$

0

Чтобы ответить на первый вопрос и предоставить (вероятно, численно неэффективный) метод для второго, отметим, что это обратная производящая функция чисел Бернулли .

Nikolaj-K
источник

Это интересная связь, спасибо за указание на это. К сожалению, я считаю, что тройная сумма сделает это непомерно дорогим. Более того, не сразу понятно, где обрезать каждую сумму для получения желаемой точности.

Аноним

@anonymous: Какую тройную сумму вы имеете в виду? Вам не нужны полиномы Бернулли, только числа Бернулли, и вы можете перечислить их заранее. Но да, это все же не должно быть лучше, чем серия Тейлор.

Николай-К

Вы можете вычислить их заранее, если ясно, что вам нужно только фиксированное конечное число только для любого ввода.

Аноним

@anonymous: Да, точно так же, как вы бы заранее перечислили коэффициенты Тейлора.

Николай-К

Вычислить

Ответы: