Корректность линейной задачи упругости с периодическими граничными условиями

Для некоторых применений, таких как установившийся теплообмен и поток в пористых средах, можно моделировать гораздо больший (бесконечный) домен путем наложения периодических граничных условий на противоположных граничных поверхностях и дирихле bc на оставшихся границах. Для двумерной прямоугольной области периодическое условие можно интерпретировать так, как если бы область находилась на поверхности цилиндра.

Мне любопытно, можно ли сказать то же самое о проблемах эластичности. Я заметил, что стандартные проблемы линейной эластичности ограничены конечными областями, и я никогда не видел пример, где периодическое граничное условие предписано или реализовано. Я подозреваю, что могут быть проблемы с уникальностью решений этой проблемы из-за движения твердого тела (перемещение и / или вращение), вызванного периодичностью.

Для простоты предположим, что случай линейной изотропной плоской упругости на двумерной прямоугольной области. Допустим, я хочу смоделировать большую (периодическую) среду, используя условия фиксированного смещения (дирихле) на двух противоположных границах и условия периодического смещения на оставшихся границах.

Эта проблема хорошо поставлена? Если нет, существуют ли стратегии (например, дополнительные ограничения), которые я могу использовать, чтобы сделать его корректным, зная, что моей конечной целью является моделирование гораздо большей (бесконечной) среды с повторяющимися свойствами материала?

Пример, который вы приводите, корректен. Неравенство Корна выполняется, если подмножество, на котором зафиксировано смещение, содержит открытое (в топологии границы) подмножество границы, что верно в вашем случае.

Простой тест: если вы закрепите твёрдое тело на границе Дирихле, его все равно можно будет сдвинуть. Например, если вы фиксируете точку в двух измерениях, ваш объект может вращаться вокруг нее. Если вы фиксируете точку или линию в 3-х измерениях, то же самое.

Если в конце вы хотите периодические граничные условия в $x$ а также $y$Направления, вам придется наложить дополнительное ограничение, например, что среднее значение смещения по всему прямоугольнику равно нулю. Возможно, вам придется устранить и повороты.