Эффективный предварительный кондиционер для расширенного лагранжиана

12

Я хочу решить нелинейную задачу с нелинейными ограничениями равенства, и я использую расширенный лагранжиан с членом регуляризации штрафа, который, как известно, портит число условий моих линеаризованных систем (на каждой итерации Ньютона, которую я имею в виду) , Чем больше срок штрафа, тем хуже номер условия. Кто-нибудь знает эффективный способ избавиться от этой плохой обусловленности в этом конкретном случае?

Чтобы быть более конкретным, я использую классический расширенный лагранжиан, потому что у меня есть много ограничений, которые обычно могут быть избыточными. Поэтому слепое включение ограничений ограничений в первичные переменные очень удобно. Я попробовал другие более сложные подходы, основанные на исключениях переменных или эффективных предварительных кондиционерах непосредственно в системе KKT, но из-за избыточности ограничений у меня возникли некоторые проблемы.

Проблема, связанная с переменными сформулирована следующим образом: следуйте моему лагранжиану в виде формы L ( u , λ ) : = W ( u ) + ρ λ Tu=[u1,,un]

L(u,λ):=W(u)+ρλTc(u)+ρ2c2(u)

Таким образом, в общем, цель на каждой итерации Ньютона состоит в том, чтобы решить задачу вида С (отбрасываем гессиан ограничения) и а заглавная предназначена для .A ( u , ρ ) : = 2 u W ( u ) + ρ C T ( u ) C ( u ) b ( u , ρ ) : = - (u W ( u ) + ( ρ + λ T c ( u ) ) u (

AΔu=b
A(u,ρ):=u2W(u)+ρCT(u)C(u)
C C ( u ) : = u c ( u )
b(u,ρ):=(uW(u)+(ρ+λTc(u))u(u))
CC(u):=uc(u)

Спасибо.

Том
источник
Привет том. Добро пожаловать в Scicomp. Чтобы помочь нам ответить на ваш вопрос, не могли бы вы написать уравнения, которые вы пытаетесь решить?
Павел
Вы имеете в виду ? AΔu=b
Арнольд Ноймайер
ой, извини. Да, конечно.
Том

Ответы:

6

В зависимости от структуры задачи, вы можете решить неразрешенную систему дополненных лагранжианов напрямую. Например, BDDC / FETI-DP может решать почти несжимаемую эластичность в первичной форме со скоростью сходимости, не зависящей от отношения Пуассона (кусочно-постоянная на поддоменах, но с произвольными скачками). Аналогично, многосеточные методы, которые точно воспроизводят объемный режим, могут иметь это свойство. Такие методы специфичны для проблемы, и, как правило, большие штрафы приводят к системам, которые трудно подготовить.

Чтобы обеспечить большую гибкость в выборе предварительного кондиционера, я рекомендую ввести явные двойные переменные и написать большую систему седловых точек

(ACTCρ1)(xy)=(b0)

Aρ~CTCρ~ρρ1CA1CTPCFIELDSPLIT

Если вы можете более конкретно указать источник вашей проблемы (что вы минимизируете и каковы ограничения), я могу предложить более конкретные ссылки.

Джед браун
источник
Предварительные условия для упорядоченной системы открывают для меня новые возможности! Однако мне понадобится некоторое время, чтобы переварить все это, я могу вернуться к вам через некоторое время, если вы не возражаете. Большое спасибо вам обоим за ваши ответы.
Том
4

Введите дополнительные переменные для испорченных членов в условии KT, и вы можете найти более крупную симметричную систему, которая ведет себя хорошо с числовой формой, и в матрицу входит только обратный коэффициент штрафа.

(A+ρCTC)x=b ρy=ρCxAx+CTy=bCxρ1y=0

Арнольд Ноймайер
источник
c(u)=0uc(xs,x1,x2)=(x2x1)nxs\[x1,x2\]
Том
@ Том: Я имел в виду не нелинейную проблему, а плохо обусловленные уравнения, с которыми вы сталкиваетесь. Пожалуйста, запишите (редактируя свой вопрос) форму линейной системы, которую вы хотите решить, и как вводится параметр штрафа.
Арнольд Ноймайер,
Я пытаюсь выяснить, как введение дополнительных переменных может помочь ... Не могли бы вы прислать мне ссылку? Большое спасибо!
Том
@Tom: см. Отредактированный ответ.
Арнольд Ноймайер,
ρρ10