Понимание условий Вульфа для поиска неточной строки

Согласно Книжной числовой оптимизации Nocedal & Wright (2006), условия Вульфа для неточного поиска линии для направления спуска ,$p$

Достаточное уменьшение: Условие кривизны: для∇ F ( х + α р ) Т р ≥ с 2 ∇ F ( х ) Т р 0 < с 1 < с 2 < $f(x+\alpha p)\le f(x)+c_1\alpha_k\nabla f(x)^T p$
$\nabla f(x+\alpha p)^Tp\ge c_2 \nabla f(x)^T p$
$0<c_1<c_2<1$

Я могу видеть, как условие достаточного уменьшения утверждает, что значение функции в новой точке должно находиться под касательной в . Но я не уверен, что условие кривизны говорит мне геометрически. Кроме того, почему должно быть наложено отношение ? Что это делает, геометрически?x c 1 < c $x+\alpha p$$x$$c_1<c_2$

Условие кривизны, по сути, говорит об этом: мы знаем, что (потому что - это направление спуска). Таким образом, в направлении , он идет вниз. Теперь мы ищем минимум, то есть точку, где . Это означает, что мы не хотим принимать длины шагов где градиент в направлении , то есть по-прежнему такой же отрицательный, как и в точке x. Скорее, мы хотим остановиться в месте, где градиент менее отрицательный или даже положительный.$\nabla f(x)\cdot p < 0$$p$$p$$\nabla f=0$$x+\alpha p$$p$$\nabla f(x+\alpha p) \cdot p$

Поскольку правая часть условия кривизны отрицательна, распространенным вариантом условия является требованиекоторый я обычно нахожу легче понять.

Понимание этого позволит вам легко строить случаи, когда вы не можете выполнить оба условия, если только .$c_1<c_2$