Почему важно, чтобы начальный гамильтониан не коммутировал с конечным гамильтонианом в адиабатических квантовых вычислениях?

Я читал во многих источниках и книгах по адиабатический квантовым вычислениям (AQC) , что имеет решающее значение для исходного гамильтониана Н я не коммутирует с конечным гамильтонианом H F , т.е. [ H я , H е ] ≠ 0 , Но я никогда не видел аргумента, почему это так важно.$\hat{H}_i$ $\hat{H}_f$$\left[\hat{H}_i,\hat{H}_f\right]\neq 0$

Если предположить линейную зависимость от времени гамильтониан AQC является Н ( т ) = ( 1 - т где τ - адиабатическая шкала времени.

Поэтому мой вопрос : почему так важно, чтобы начальный гамильтониан не коммутировал с последним гамильтонианом?

В адиабатическом контроле качества вы кодируете свою проблему в гамильтониане так, чтобы ваш результат можно было извлечь из основного состояния. Подготовить это основное состояние сложно непосредственно, поэтому вместо этого вы готовите основное состояние «простого» гамильтониана, а затем медленно интерполируете между ними. Если вы идете достаточно медленно, состояние вашей системы останется в основном состоянии. В конце вашего процесса у вас будет решение.

Это работает в соответствии с теоремой Адиабаты . Для выполнения теоремы должна быть энергетическая щель между основным состоянием и первым возбужденным состоянием. Чем меньше становится зазор, тем медленнее нужно интерполировать, чтобы предотвратить смешивание между основным состоянием и первыми возбужденными состояниями. Если разрыв закрывается, такое смешивание невозможно предотвратить, и вы не можете идти достаточно медленно. Процедура не проходит в этот момент.

Если начальный и конечный гамильтоновы коммутируют, это означает, что они имеют одинаковые собственные состояния энергии. Таким образом, они согласны с тем, какие состояния получают назначенную энергию, и не согласны только с энергиями, которые они получают. Интерполяция между двумя гамильтонианами просто меняет энергии. Таким образом, конечное основное состояние было бы возбужденным состоянием в начале, а исходное основное состояние становилось возбужденным в конце. В какой-то момент, проходя мимо друг друга, энергии этих состояний будут равны, и поэтому разрыв между ними закрывается. Этого достаточно, чтобы увидеть, что энергетическая щель должна закрыться в некоторой точке.

Следовательно, наличие некоммутирующих гамильтонианов является необходимым условием для сохранения разрыва, и, следовательно, для AQC.

Если две матрицы (в данном случае гамильтонианы) коммутируют, они имеют одинаковые собственные векторы. Итак, если вы подготовите основное состояние первого гамильтониана, то оно (грубо говоря) останется собственным состоянием на протяжении всей адиабатической эволюции, и поэтому вы получите только то, что вкладываете. В этом нет никакой ценности.

Если вы хотите быть немного более строгим, возможно, ваш начальный гамильтониан имеет вырождение, которое снимается вторым гамильтонианом, и вы, возможно, надеетесь заставить систему эволюционировать в уникальное основное состояние. Заметим, однако, что вырождение снимается в тот момент, когда существует ненулевое количество второго гамильтониана. Какой бы эффект он ни имел, он мгновенный. Я верю, что вы не получите правильную адиабатическую эволюцию. Вместо этого вы должны записать свое начальное состояние как суперпозицию новых собственных состояний, и они начинают развиваться с течением времени, но вы никогда не увеличите перекрытие своего состояния с целевым состоянием (основным состоянием).

$\sigma^Z$$t$

Более того, даже выходя за строгие границы AQC (например, квантовый отжиг в открытых системах, QAOA и т. Д.), Если ведущий гамильтониан коммутирует, он не может вызвать переходы между собственными состояниями проблемного гамильтониана, а только изменить фазу амплитуд в волновой функции ; и вам нужен драйвер, способный вызывать перевороты, чтобы исследовать пространство поиска.

Let's start with a simple example where $H_i$ and $H_f$ commute because they are both diagonal:

$H_i= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$H_p= \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

The eigenvector with lowest eigenvalue (i.e. the ground state) of $H_i$ is $|1\rangle$ so we start in this state. The ground state of $H_f$ is $|0\rangle$ so this is what we're looking for.

Remember the minimum runtime for the AQC to give the correct answer to within an error $\epsilon$:
$\tau\ge \max_t\left(\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$.

This is given and explained in Eq. 2 of Tanburn et al. (2015).

• Let's say we want $\epsilon = 0.1$.
• Notice that $||H_i - H_f||^2 = 0.1$ according Eq. 4 of the same paper.
• Notice that $\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon}=1$ (I've chosen $\epsilon$ so that this would happen, but it doesn't matter).
• We now have $\tau \ge \max_t\left(\frac{1}{E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

So what is the minimum gap between ground and first excited state (which gives the $\max_t$) ?
When $t=20\tau/29$, the Hamiltonian is:

$H=\frac{9}{29}H_i + \frac{20}{29}H_p$

$H=\frac{9}{29}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \frac{20}{29}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{9}{29} & 0\\ 0 & -\frac{9}{29} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{29} & 0\\ 0 & -\frac{2}{29} \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{-11}{29} & 0\\ 0 & -\frac{11}{29} \end{pmatrix}$

So when $t=\frac{20}{29}\tau$, we have $E_{\rm{gap}}=0$ and the lower bound on $\tau$ is essentially $\infty$.

So the adiabatic theorem still applies, but when it states that the Hamiltonian needs to change "slowly enough", it turns out it needs to change "infinitely slowly", which means you will not likely ever get the answer using AQC.