Как я могу умножать и делить, используя только битовый сдвиг и сложение?

Как я могу умножать и делить, используя только битовый сдвиг и сложение?

Чтобы умножить с точки зрения сложения и сдвига, вы хотите разложить одно из чисел по степени двойки, например:

21 * 5 = 10101_2 * 101_2             (Initial step)
       = 10101_2 * (1 * 2^2  +  0 * 2^1  +  1 * 2^0)
       = 10101_2 * 2^2 + 10101_2 * 2^0 
       = 10101_2 << 2 + 10101_2 << 0 (Decomposed)
       = 10101_2 * 4 + 10101_2 * 1
       = 10101_2 * 5
       = 21 * 5                      (Same as initial expression)

( _2означает базу 2)

Как видите, умножение можно разложить на сложение, сдвиг и обратно. По этой же причине умножение занимает больше времени, чем битовые сдвиги или сложение - это O (n ^ 2), а не O (n) в количестве битов. Реальные компьютерные системы (в отличие от теоретических компьютерных систем) имеют конечное число битов, поэтому умножение занимает постоянное количество времени по сравнению со сложением и сдвигом. Если я правильно помню, современные процессоры, при правильной конвейерной обработке, могут выполнять умножение почти так же быстро, как сложение, за счет использования ALU (арифметических устройств) в процессоре.

Ответ Эндрю Тулузы можно распространить на разделение.

Деление на целочисленные константы подробно рассмотрено в книге Генри Уоррена «Хакерское наслаждение» (ISBN 9780201914658).

Первая идея для реализации деления - записать обратное значение знаменателя по основанию два.

Например, 1/3 = (base-2) 0.0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 .....

Итак, a/3 = (a >> 2) + (a >> 4) + (a >> 6) + ... + (a >> 30) для 32-битной арифметики.

Объединив термины очевидным образом, мы можем сократить количество операций:

b = (a >> 2) + (a >> 4)

b += (b >> 4)

b += (b >> 8)

b += (b >> 16)

Есть более интересные способы вычисления деления и остатков.

РЕДАКТИРОВАТЬ1:

Если OP означает умножение и деление произвольных чисел, а не деление на постоянное число, тогда этот поток может быть полезен: qaru.site/questions/435 / ... / 12699549/1182653

РЕДАКТИРОВАТЬ2:

Один из самых быстрых способов деления на целые константы - использовать модульную арифметику и редукцию Монтгомери: какой самый быстрый способ разделить целое число на 3?

X * 2 = сдвиг на 1 бит влево
X / 2 = сдвиг на 1 бит вправо
X * 3 = сдвиг влево на 1 бит и затем прибавление X

x << k == x multiplied by 2 to the power of k
x >> k == x divided by 2 to the power of k

Вы можете использовать эти сдвиги для выполнения любых операций умножения. Например:

x * 14 == x * 16 - x * 2 == (x << 4) - (x << 1)
x * 12 == x * 8 + x * 4 == (x << 3) + (x << 2)

Я не знаю простого способа разделить число на не степень двойки, если только вы не хотите реализовать некоторую логику низкого уровня, использовать другие двоичные операции и использовать какую-либо форму итерации.

1. Сдвиг влево на 1 позицию аналогичен умножению на 2. Сдвиг вправо аналогичен делению на 2.
2. Для умножения можно складывать в петлю. Правильно выбрав переменную цикла и переменную сложения, вы можете ограничить производительность. Как только вы это изучите, вам следует использовать крестьянское умножение.

Я перевел код Python на C. В приведенном примере был небольшой недостаток. Если значение делимого занимает все 32 бита, сдвиг не удастся. Я просто использовал 64-битные переменные внутри, чтобы обойти проблему:

int No_divide(int nDivisor, int nDividend, int *nRemainder)
{
    int nQuotient = 0;
    int nPos = -1;
    unsigned long long ullDivisor = nDivisor;
    unsigned long long ullDividend = nDividend;

    while (ullDivisor <  ullDividend)
    {
        ullDivisor <<= 1;
        nPos ++;
    }

    ullDivisor >>= 1;

    while (nPos > -1)
    {
        if (ullDividend >= ullDivisor)
        {
            nQuotient += (1 << nPos);
            ullDividend -= ullDivisor;
        }

        ullDivisor >>= 1;
        nPos -= 1;
    }

    *nRemainder = (int) ullDividend;

    return nQuotient;
}

Процедура деления целых чисел, использующая сдвиги и сложения, может быть получена прямым способом из дробного десятичного деления, как учили в начальной школе. Выбор каждой цифры частного упрощается, поскольку цифра равна 0 и 1: если текущий остаток больше или равен делителю, младший бит частичного частного равен 1.

Как и в случае дробного десятичного деления, цифры делимого считаются от наиболее значимых к наименее значимым, по одной цифре за раз. Это легко достигается сдвигом влево при двоичном делении. Кроме того, биты частного собираются путем сдвига влево текущих битов частного на одну позицию с последующим добавлением нового бита частного.

В классической схеме эти два сдвига влево объединяются в сдвиг влево одной пары регистров. Верхняя половина содержит текущий остаток, начальная нижняя половина содержит дивиденды. Поскольку делимые биты передаются в регистр остатка сдвигом влево, неиспользуемые младшие значащие биты младшей половины используются для накопления частных битов.

Ниже представлен ассемблер x86 и реализации этого алгоритма C. Этот конкретный вариант деления сдвига и сложения иногда называют «неработающим» вариантом, поскольку вычитание делителя из текущего остатка не выполняется, если остаток больше или равен делителю. В языке C отсутствует понятие флага переноса, используемого версией сборки при сдвиге влево пары регистров. Вместо этого он эмулируется, основываясь на наблюдении, что результат сложения по модулю 2 ⁿ может быть меньше, чем результат любого сложения, только если было выполнение.

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdint.h>

#define USE_ASM 0

#if USE_ASM
uint32_t bitwise_division (uint32_t dividend, uint32_t divisor)
{
    uint32_t quot;
    __asm {
        mov  eax, [dividend];// quot = dividend
        mov  ecx, [divisor]; // divisor
        mov  edx, 32;        // bits_left
        mov  ebx, 0;         // rem
    $div_loop:
        add  eax, eax;       // (rem:quot) << 1
        adc  ebx, ebx;       //  ...
        cmp  ebx, ecx;       // rem >= divisor ?
        jb  $quot_bit_is_0;  // if (rem < divisor)
    $quot_bit_is_1:          // 
        sub  ebx, ecx;       // rem = rem - divisor
        add  eax, 1;         // quot++
    $quot_bit_is_0:
        dec  edx;            // bits_left--
        jnz  $div_loop;      // while (bits_left)
        mov  [quot], eax;    // quot
    }            
    return quot;
}
#else
uint32_t bitwise_division (uint32_t dividend, uint32_t divisor)
{
    uint32_t quot, rem, t;
    int bits_left = CHAR_BIT * sizeof (uint32_t);

    quot = dividend;
    rem = 0;
    do {
            // (rem:quot) << 1
            t = quot;
            quot = quot + quot;
            rem = rem + rem + (quot < t);

            if (rem >= divisor) {
                rem = rem - divisor;
                quot = quot + 1;
            }
            bits_left--;
    } while (bits_left);
    return quot;
}
#endif

Возьмите два числа, скажем 9 и 10, запишите их как двоичные - 1001 и 1010.

Начните с результата R, равного 0.

Возьмите одно из чисел, в данном случае 1010, мы назовем его A и сдвинем вправо на один бит, если вы сдвинете единицу, добавьте первое число, мы назовем его B, к R.

Теперь сдвиньте B на один бит влево и повторяйте, пока все биты не будут сдвинуты из A.

Легче увидеть, что происходит, если вы видите, что это написано, вот пример:

      0
   0000      0
  10010      1
 000000      0
1001000      1
 ------
1011010

Взято отсюда .

Это только для разделения:

int add(int a, int b) {
        int partialSum, carry;
        do {
            partialSum = a ^ b;
            carry = (a & b) << 1;
            a = partialSum;
            b = carry;
        } while (carry != 0);
        return partialSum;
}

int subtract(int a, int b) {
    return add(a, add(~b, 1));
}

int division(int dividend, int divisor) {
        boolean negative = false;
        if ((dividend & (1 << 31)) == (1 << 31)) { // Check for signed bit
            negative = !negative;
            dividend = add(~dividend, 1);  // Negation
        }
        if ((divisor & (1 << 31)) == (1 << 31)) {
            negative = !negative;
            divisor = add(~divisor, 1);  // Negation
        }
        int quotient = 0;
        long r;
        for (int i = 30; i >= 0; i = subtract(i, 1)) {
            r = (divisor << i);
           // Left shift divisor until it's smaller than dividend
            if (r < Integer.MAX_VALUE && r >= 0) { // Avoid cases where comparison between long and int doesn't make sense
                if (r <= dividend) { 
                    quotient |= (1 << i);    
                    dividend = subtract(dividend, (int) r);
                }
            }
        }
        if (negative) {
            quotient = add(~quotient, 1);
        }
        return quotient;
}

это в основном умножение и деление с базовой степенью 2

сдвиг влево = x * 2 ^ y

сдвиг вправо = x / 2 ^ y

shl eax, 2 = 2 * 2 ^ 2 = 8

shr eax, 3 = 2/2 ^ 3 = 1/4

Это должно работать для умножения:

.data

.text
.globl  main

main:

# $4 * $5 = $2

    addi $4, $0, 0x9
    addi $5, $0, 0x6

    add  $2, $0, $0 # initialize product to zero

Loop:   
    beq  $5, $0, Exit # if multiplier is 0,terminate loop
    andi $3, $5, 1 # mask out the 0th bit in multiplier
    beq  $3, $0, Shift # if the bit is 0, skip add
    addu $2, $2, $4 # add (shifted) multiplicand to product

Shift: 
    sll $4, $4, 1 # shift up the multiplicand 1 bit
    srl $5, $5, 1 # shift down the multiplier 1 bit
    j Loop # go for next  

Exit: #


EXIT: 
li $v0,10
syscall

Приведенный ниже метод представляет собой реализацию двоичного деления, учитывая, что оба числа положительны. Если вычитание вызывает беспокойство, мы можем реализовать это также с помощью бинарных операторов.

Код

-(int)binaryDivide:(int)numerator with:(int)denominator
{
    if (numerator == 0 || denominator == 1) {
        return numerator;
    }

    if (denominator == 0) {

        #ifdef DEBUG
            NSAssert(denominator==0, @"denominator should be greater then 0");
        #endif
        return INFINITY;
    }

    // if (numerator <0) {
    //     numerator = abs(numerator);
    // }

    int maxBitDenom = [self getMaxBit:denominator];
    int maxBitNumerator = [self getMaxBit:numerator];
    int msbNumber = [self getMSB:maxBitDenom ofNumber:numerator];

    int qoutient = 0;

    int subResult = 0;

    int remainingBits = maxBitNumerator-maxBitDenom;

    if (msbNumber >= denominator) {
        qoutient |=1;
        subResult = msbNumber - denominator;
    }
    else {
        subResult = msbNumber;
    }

    while (remainingBits > 0) {
        int msbBit = (numerator & (1 << (remainingBits-1)))>0?1:0;
        subResult = (subResult << 1) | msbBit;
        if(subResult >= denominator) {
            subResult = subResult - denominator;
            qoutient= (qoutient << 1) | 1;
        }
        else{
            qoutient = qoutient << 1;
        }
        remainingBits--;

    }
    return qoutient;
}

-(int)getMaxBit:(int)inputNumber
{
    int maxBit = 0;
    BOOL isMaxBitSet = NO;
    for (int i=0; i<sizeof(inputNumber)*8; i++) {
        if (inputNumber & (1<<i)) {
            maxBit = i;
            isMaxBitSet=YES;
        }
    }
    if (isMaxBitSet) {
        maxBit+=1;
    }
    return maxBit;
}


-(int)getMSB:(int)bits ofNumber:(int)number
{
    int numbeMaxBit = [self getMaxBit:number];
    return number >> (numbeMaxBit - bits);
}

Для умножения:

-(int)multiplyNumber:(int)num1 withNumber:(int)num2
{
    int mulResult = 0;
    int ithBit;

    BOOL isNegativeSign = (num1<0 && num2>0) || (num1>0 && num2<0);
    num1 = abs(num1);
    num2 = abs(num2);


    for (int i=0; i<sizeof(num2)*8; i++)
    {
        ithBit =  num2 & (1<<i);
        if (ithBit>0) {
            mulResult += (num1 << i);
        }

    }

    if (isNegativeSign) {
        mulResult =  ((~mulResult)+1);
    }

    return mulResult;
}

Для тех , кто заинтересован в 16-битный растворе x86, есть кусок кода, JasonKnight здесь 1 (он также включает в себя подписанные умножениях куска, который я не проверял). Однако этот код имеет проблемы с большими входными данными, когда часть «добавить bx, bx» будет переполняться.

Фиксированная версия:

softwareMultiply:
;    INPUT  CX,BX
;   OUTPUT  DX:AX - 32 bits
; CLOBBERS  BX,CX,DI
    xor   ax,ax     ; cheap way to zero a reg
    mov   dx,ax     ; 1 clock faster than xor
    mov   di,cx
    or    di,bx     ; cheap way to test for zero on both regs
    jz    @done
    mov   di,ax     ; DI used for reg,reg adc
@loop:
    shr   cx,1      ; divide by two, bottom bit moved to carry flag
    jnc   @skipAddToResult
    add   ax,bx
    adc   dx,di     ; reg,reg is faster than reg,imm16
@skipAddToResult:
    add   bx,bx     ; faster than shift or mul
    adc   di,di
    or    cx,cx     ; fast zero check
    jnz   @loop
@done:
    ret

Или то же самое в встроенной сборке GCC:

asm("mov $0,%%ax\n\t"
    "mov $0,%%dx\n\t"
    "mov %%cx,%%di\n\t"
    "or %%bx,%%di\n\t"
    "jz done\n\t"
    "mov %%ax,%%di\n\t"
    "loop:\n\t"
    "shr $1,%%cx\n\t"
    "jnc skipAddToResult\n\t"
    "add %%bx,%%ax\n\t"
    "adc %%di,%%dx\n\t"
    "skipAddToResult:\n\t"
    "add %%bx,%%bx\n\t"
    "adc %%di,%%di\n\t"
    "or %%cx,%%cx\n\t"
    "jnz loop\n\t"
    "done:\n\t"
    : "=d" (dx), "=a" (ax)
    : "b" (bx), "c" (cx)
    : "ecx", "edi"
);

Попробуй это. https://gist.github.com/swguru/5219592

import sys
# implement divide operation without using built-in divide operator
def divAndMod_slow(y,x, debug=0):
    r = 0
    while y >= x:
            r += 1
            y -= x
    return r,y 


# implement divide operation without using built-in divide operator
def divAndMod(y,x, debug=0):

    ## find the highest position of positive bit of the ratio
    pos = -1
    while y >= x:
            pos += 1
            x <<= 1
    x >>= 1
    if debug: print "y=%d, x=%d, pos=%d" % (y,x,pos)

    if pos == -1:
            return 0, y

    r = 0
    while pos >= 0:
            if y >= x:
                    r += (1 << pos)                        
                    y -= x                
            if debug: print "y=%d, x=%d, r=%d, pos=%d" % (y,x,r,pos)

            x >>= 1
            pos -= 1

    return r, y


if __name__ =="__main__":
    if len(sys.argv) == 3:
        y = int(sys.argv[1])
        x = int(sys.argv[2])
     else:
            y = 313271356
            x = 7

print "=== Slow Version ...."
res = divAndMod_slow( y, x)
print "%d = %d * %d + %d" % (y, x, res[0], res[1])

print "=== Fast Version ...."
res = divAndMod( y, x, debug=1)
print "%d = %d * %d + %d" % (y, x, res[0], res[1])