Учитывая массив чисел, вернуть массив произведений всех других чисел (без деления)

Мне задали этот вопрос на собеседовании, и я хотел бы знать, как другие решат его. Мне больше всего нравится Java, но приветствуются решения на других языках.

Если дан массив чисел, numsвернуть массив чисел products, где products[i]произведение всех nums[j], j != i.

Input : [1, 2, 3, 4, 5]
Output: [(2*3*4*5), (1*3*4*5), (1*2*4*5), (1*2*3*5), (1*2*3*4)]
      = [120, 60, 40, 30, 24]

Вы должны сделать это O(N)без использования деления.

Объяснение метода полигенных смазок таково : хитрость заключается в построении массивов (в случае 4 элементов)

{              1,         a[0],    a[0]*a[1],    a[0]*a[1]*a[2],  }
{ a[1]*a[2]*a[3],    a[2]*a[3],         a[3],                 1,  }

И то, и другое можно сделать в O (n), начиная с левого и правого краев соответственно.

Затем умножение двух элементов массива на элемент дает требуемый результат

Мой код будет выглядеть примерно так:

int a[N] // This is the input
int products_below[N];
p=1;
for(int i=0;i<N;++i) {
  products_below[i]=p;
  p*=a[i];
}

int products_above[N];
p=1;
for(int i=N-1;i>=0;--i) {
  products_above[i]=p;
  p*=a[i];
}

int products[N]; // This is the result
for(int i=0;i<N;++i) {
  products[i]=products_below[i]*products_above[i];
}

Если вам нужно быть O (1) в космосе, вы можете сделать это (что менее понятно, ИМХО)

int a[N] // This is the input
int products[N];

// Get the products below the current index
p=1;
for(int i=0;i<N;++i) {
  products[i]=p;
  p*=a[i];
}

// Get the products above the curent index
p=1;
for(int i=N-1;i>=0;--i) {
  products[i]*=p;
  p*=a[i];
}

Вот небольшая рекурсивная функция (в C ++) для выполнения модификации на месте. Это требует O (n) дополнительного пространства (в стеке). Предполагая, что массив находится в a, а N содержит длину массива, мы имеем

int multiply(int *a, int fwdProduct, int indx) {
    int revProduct = 1;
    if (indx < N) {
       revProduct = multiply(a, fwdProduct*a[indx], indx+1);
       int cur = a[indx];
       a[indx] = fwdProduct * revProduct;
       revProduct *= cur;
    }
    return revProduct;
}

Вот моя попытка решить это на Java. Извините за нестандартное форматирование, но в коде много дублирования, и это лучшее, что я могу сделать, чтобы сделать его читабельным.

import java.util.Arrays;

public class Products {
    static int[] products(int... nums) {
        final int N = nums.length;
        int[] prods = new int[N];
        Arrays.fill(prods, 1);
        for (int
           i = 0, pi = 1    ,  j = N-1, pj = 1  ;
           (i < N)         && (j >= 0)          ;
           pi *= nums[i++]  ,  pj *= nums[j--]  )
        {
           prods[i] *= pi   ;  prods[j] *= pj   ;
        }
        return prods;
    }
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(
            Arrays.toString(products(1, 2, 3, 4, 5))
        ); // prints "[120, 60, 40, 30, 24]"
    }
}

Инварианты цикла - это pi = nums[0] * nums[1] *.. nums[i-1]и pj = nums[N-1] * nums[N-2] *.. nums[j+1]. iЧасть слева есть «префикс» логика, а jчасть по праву является «суффикс» логикой.

Рекурсивный однострочный

Жасмит дала (красивое!) Рекурсивное решение; Я превратил это в эту (отвратительную!) Java-строку. Это делает модификацию на месте , с O(N)временным пространством в стеке.

static int multiply(int[] nums, int p, int n) {
    return (n == nums.length) ? 1
      : nums[n] * (p = multiply(nums, nums[n] * (nums[n] = p), n + 1))
          + 0*(nums[n] *= p);
}

int[] arr = {1,2,3,4,5};
multiply(arr, 1, 0);
System.out.println(Arrays.toString(arr));
// prints "[120, 60, 40, 30, 24]"

Перевод решения Майкла Андерсона на Хаскелл:

otherProducts xs = zipWith (*) below above

     where below = scanl (*) 1 $ init xs

           above = tail $ scanr (*) 1 xs

Скрытно обходя правило «без делений»:

sum = 0.0
for i in range(a):
  sum += log(a[i])

for i in range(a):
  output[i] = exp(sum - log(a[i]))

Вот, пожалуйста, простое и чистое решение со сложностью O (N):

int[] a = {1,2,3,4,5};
    int[] r = new int[a.length];
    int x = 1;
    r[0] = 1;
    for (int i=1;i<a.length;i++){
        r[i]=r[i-1]*a[i-1];
    }
    for (int i=a.length-1;i>0;i--){
        x=x*a[i];
        r[i-1]=x*r[i-1];
    }
    for (int i=0;i<r.length;i++){
        System.out.println(r[i]);
    }

C ++, O (n):

long long prod = accumulate(in.begin(), in.end(), 1LL, multiplies<int>());
transform(in.begin(), in.end(), back_inserter(res),
          bind1st(divides<long long>(), prod));

1. Путешествуйте влево-> вправо и сохраняйте продукт. Назовите это в прошлом. -> O (n)
2. Путешествуйте направо -> налево, сохраняйте товар. Назовите это Будущее. -> O (n)
3. Результат [i] = Прошлое [i-1] * Будущее [i + 1] -> O (n)
4. Прошлое [-1] = 1; и Future [n + 1] = 1;

На)

Вот мое решение в современном C ++. Он использует std::transformи довольно легко запомнить.

Код онлайн (wandbox).

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

vector<int>& multiply_up(vector<int>& v){
    v.insert(v.begin(),1);
    transform(v.begin()+1, v.end()
             ,v.begin()
             ,v.begin()+1
             ,[](auto const& a, auto const& b) { return b*a; }
             );
    v.pop_back();
    return v;
}

int main() {
    vector<int> v = {1,2,3,4,5};
    auto vr = v;

    reverse(vr.begin(),vr.end());
    multiply_up(v);
    multiply_up(vr);
    reverse(vr.begin(),vr.end());

    transform(v.begin(),v.end()
             ,vr.begin()
             ,v.begin()
             ,[](auto const& a, auto const& b) { return b*a; }
             );

    for(auto& i: v) cout << i << " "; 
}

Это O (n ^ 2), но f # оооочень красиво:

List.fold (fun seed i -> List.mapi (fun j x -> if i=j+1 then x else x*i) seed) 
          [1;1;1;1;1]
          [1..5]

Просчитайте произведение чисел слева и справа от каждого элемента. Для каждого элемента желаемое значение является продуктом продуктов его соседей.

#include <stdio.h>

unsigned array[5] = { 1,2,3,4,5};

int main(void)
{
unsigned idx;

unsigned left[5]
        , right[5];
left[0] = 1;
right[4] = 1;

        /* calculate products of numbers to the left of [idx] */
for (idx=1; idx < 5; idx++) {
        left[idx] = left[idx-1] * array[idx-1];
        }

        /* calculate products of numbers to the right of [idx] */
for (idx=4; idx-- > 0; ) {
        right[idx] = right[idx+1] * array[idx+1];
        }

for (idx=0; idx <5 ; idx++) {
        printf("[%u] Product(%u*%u) = %u\n"
                , idx, left[idx] , right[idx]  , left[idx] * right[idx]  );
        }

return 0;
}

Результат:

$ ./a.out
[0] Product(1*120) = 120
[1] Product(1*60) = 60
[2] Product(2*20) = 40
[3] Product(6*5) = 30
[4] Product(24*1) = 24

(ОБНОВЛЕНИЕ: теперь я посмотрю поближе, в нем используется тот же метод, что и у Майкла Андерсона, Даниеля Миговски и вышеупомянутых полигенасыщенных смазок)

Tricky:

Используйте следующее:

public int[] calc(int[] params) {

int[] left = new int[n-1]
in[] right = new int[n-1]

int fac1 = 1;
int fac2 = 1;
for( int i=0; i<n; i++ ) {
    fac1 = fac1 * params[i];
    fac2 = fac2 * params[n-i];
    left[i] = fac1;
    right[i] = fac2; 
}
fac = 1;

int[] results = new int[n];
for( int i=0; i<n; i++ ) {
    results[i] = left[i] * right[i];
}

Да, я уверен, что пропустил i-1 вместо i, но это способ решить эту проблему.

Также существует O (N ^ (3/2)) неоптимальное решение. Это довольно интересно, хотя.

Сначала необходимо предварительно обработать каждое частичное умножение размером N ^ 0.5 (это делается за O (N) временной сложности). Затем вычисление для кратного числа других значений каждого числа может быть выполнено за 2 * O (N ^ 0.5) времени (почему? Потому что вам нужно только умножить последние элементы других ((N ^ 0.5) - 1) чисел, и умножьте результат на ((N ^ 0.5) - 1) числа, которые принадлежат группе текущего числа). Делая это для каждого числа, можно получить O (N ^ (3/2)) время.

Пример:

4 6 7 2 3 1 9 5 8

частичные результаты: 4 * 6 * 7 = 168 2 * 3 * 1 = 6 9 * 5 * 8 = 360

Чтобы вычислить значение 3, нужно умножить значения других групп 168 * 360, а затем на 2 * 1.

public static void main(String[] args) {
    int[] arr = { 1, 2, 3, 4, 5 };
    int[] result = { 1, 1, 1, 1, 1 };
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            result[i] *= arr[j];

        }
        for (int k = arr.length - 1; k > i; k--) {
            result[i] *= arr[k];
        }
    }
    for (int i : result) {
        System.out.println(i);
    }
}

Это решение, которое я придумал, и я нашел его настолько ясным, что вы думаете !?

def productify(arr, prod, i):
    if i < len(arr):
            prod.append(arr[i - 1] * prod[i - 1]) if i > 0 else prod.append(1)
            retval = productify(arr, prod, i + 1)
            prod[i] *= retval
            return retval * arr[i]
    return 1

arr = [1, 2, 3, 4, 5] prod = [] productify (arr, prod, 0) print prod

Для полноты вот код в Scala:

val list1 = List(1, 2, 3, 4, 5)
for (elem <- list1) println(list1.filter(_ != elem) reduceLeft(_*_))

Это распечатает следующее:

120
60
40
30
24

Программа отфильтрует текущий элемент (_! = Elem); и умножить новый список с помощью метода reduLeft. Я думаю, что это будет O (n), если вы используете scala view или Iterator для lazy eval.

На основании ответа Билла - извините, я не могу комментировать, но вот версия scala, которая правильно обрабатывает дублирующиеся элементы в списке, и, вероятно, O (n):

val list1 = List(1, 7, 3, 3, 4, 4)
val view = list1.view.zipWithIndex map { x => list1.view.patch(x._2, Nil, 1).reduceLeft(_*_)}
view.force

возвращает:

List(1008, 144, 336, 336, 252, 252)

Добавляя мое решение JavaScript здесь, я не нашел никого, кто предлагал бы это. Что нужно разделить, кроме как посчитать, сколько раз вы можете извлечь число из другого числа? Я провел вычисление произведения всего массива, а затем перебрал все элементы и вычел текущий элемент до нуля:

//No division operation allowed
// keep substracting divisor from dividend, until dividend is zero or less than divisor
function calculateProducsExceptCurrent_NoDivision(input){
  var res = [];
  var totalProduct = 1;
  //calculate the total product
  for(var i = 0; i < input.length; i++){
    totalProduct = totalProduct * input[i];
  }
  //populate the result array by "dividing" each value
  for(var i = 0; i < input.length; i++){
    var timesSubstracted = 0;
    var divisor = input[i];
    var dividend = totalProduct;
    while(divisor <= dividend){
      dividend = dividend - divisor;
      timesSubstracted++;
    }
    res.push(timesSubstracted);
  }
  return res;
}

Я пользуюсь C #:

    public int[] ProductExceptSelf(int[] nums)
    {
        int[] returnArray = new int[nums.Length];
        List<int> auxList = new List<int>();
        int multTotal = 0;

        // If no zeros are contained in the array you only have to calculate it once
        if(!nums.Contains(0))
        {
            multTotal = nums.ToList().Aggregate((a, b) => a * b);

            for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
            {
                returnArray[i] = multTotal / nums[i];
            }
        }
        else
        {
            for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
            {
                auxList = nums.ToList();
                auxList.RemoveAt(i);
                if (!auxList.Contains(0))
                {
                    returnArray[i] = auxList.Aggregate((a, b) => a * b);
                }
                else
                {
                    returnArray[i] = 0;
                }
            }
        }            

        return returnArray;
    }

Мы можем сначала исключить nums[j](где j != i) из списка, а затем получить произведение остальных; python wayЧтобы решить эту загадку, необходимо выполнить следующее:

from functools import reduce
def products(nums):
    return [ reduce(lambda x,y: x * y, nums[:i] + nums[i+1:]) for i in range(len(nums)) ]
print(products([1, 2, 3, 4, 5]))

[out]
[120, 60, 40, 30, 24]

Ну, это решение можно считать решением C / C ++. Допустим, у нас есть массив «a», содержащий n элементов, таких как [n], тогда псевдокод будет таким, как показано ниже.

for(j=0;j<n;j++)
  { 
    prod[j]=1;

    for (i=0;i<n;i++)
    {   
        if(i==j)
        continue;  
        else
        prod[j]=prod[j]*a[i];
  }

Еще одно решение, используя разделение. с двойным обходом. Умножьте все элементы и затем начните делить их на каждый элемент.

{-
Рекурсивное решение с использованием подмножеств sqrt (n). Работает в O (n).

Рекурсивно вычисляет решение для sqrt (n) подмножеств размера sqrt (n). 
Затем рекурсы по сумме произведений каждого подмножества.
Затем для каждого элемента в каждом подмножестве он вычисляет произведение с
сумма продуктов всех других продуктов.
Затем сглаживает все подмножества.

Повторяемость во время выполнения: T (n) = sqrt (n) * T (sqrt (n)) + T (sqrt (n)) + n

Предположим, что T (n) ≤ cn в O (n).

T (n) = sqrt (n) * T (sqrt (n)) + T (sqrt (n)) + n
    ≤ sqrt (n) * c * sqrt (n) + c * sqrt (n) + n
    ≤ c * n + c * sqrt (n) + n
    ≤ (2c + 1) * n
    ∈ O (n)

Обратите внимание, что потолок (sqrt (n)) может быть вычислен с использованием бинарного поиска 
и O (logn) итераций, если инструкция sqrt не разрешена.
-}

другие продукты [] = []
другие продукты [x] = [1]
другие продукты [x, y] = [y, x]
otherProducts a = foldl '(++) [] $ zipWith (\ sp -> map (* p) s )olvedSubsets subsetOtherProducts
    где 
      n = длина а

      - Размер подмножества. Требовать, чтобы 1 <s <n.
      s = потолок $ sqrt $ от интегрального n

      olvedSubsets = отобразить другие подмножества продуктов
      subsetOtherProducts = otherProducts $ карта продукта

      подмножества = обратный цикл $ a []
          где цикл [] акк = акк
                loop a acc = loop (drop sa) ((take sa): acc)

Вот мой код:

int multiply(int a[],int n,int nextproduct,int i)
{
    int prevproduct=1;
    if(i>=n)
        return prevproduct;
    prevproduct=multiply(a,n,nextproduct*a[i],i+1);
    printf(" i=%d > %d\n",i,prevproduct*nextproduct);
    return prevproduct*a[i];
}

int main()
{
    int a[]={2,4,1,3,5};
    multiply(a,5,1,0);
    return 0;
}

Вот немного функциональный пример с использованием C #:

            Func<long>[] backwards = new Func<long>[input.Length];
            Func<long>[] forwards = new Func<long>[input.Length];

            for (int i = 0; i < input.Length; ++i)
            {
                var localIndex = i;
                backwards[i] = () => (localIndex > 0 ? backwards[localIndex - 1]() : 1) * input[localIndex];
                forwards[i] = () => (localIndex < input.Length - 1 ? forwards[localIndex + 1]() : 1) * input[localIndex];
            }

            var output = new long[input.Length];
            for (int i = 0; i < input.Length; ++i)
            {
                if (0 == i)
                {
                    output[i] = forwards[i + 1]();
                }
                else if (input.Length - 1 == i)
                {
                    output[i] = backwards[i - 1]();
                }
                else
                {
                    output[i] = forwards[i + 1]() * backwards[i - 1]();
                }
            }

Я не совсем уверен, что это O (n) из-за полу-рекурсии созданных Funcs, но мои тесты, похоже, показывают, что это O (n) во времени.

// Это рекурсивное решение в Java // Вызывается следующим образом из основного продукта (a, 1,0);

public static double product(double[] a, double fwdprod, int index){
    double revprod = 1;
    if (index < a.length){
        revprod = product2(a, fwdprod*a[index], index+1);
        double cur = a[index];
        a[index] = fwdprod * revprod;
        revprod *= cur;
    }
    return revprod;
}

Оптимальное решение с O (n) временем выполнения:

1. Для каждого элемента рассчитайте произведение всех элементов, которые встречаются до этого, и сохраните его в массиве «pre».
2. Для каждого элемента рассчитайте произведение всех элементов, встречающихся после этого элемента, и сохраните его в массиве «post»

3. Создайте окончательный массив «result» для элемента i,

   result[i] = pre[i-1]*post[i+1];
   

function solution($array)
{
    $result = [];
    foreach($array as $key => $value){
        $copyOfOriginalArray = $array;
        unset($copyOfOriginalArray[$key]);
        $result[$key] = multiplyAllElemets($copyOfOriginalArray);
    }
    return $result;
}

/**
 * multiplies all elements of array
 * @param $array
 * @return int
 */
function multiplyAllElemets($array){
    $result = 1;
    foreach($array as $element){
        $result *= $element;
    }
    return $result;
}

$array = [1, 9, 2, 7];

print_r(solution($array));

Вот еще одна простая концепция, которая решает проблему в O(N).

        int[] arr = new int[] {1, 2, 3, 4, 5};
        int[] outArray = new int[arr.length]; 
        for(int i=0;i<arr.length;i++){
            int res=Arrays.stream(arr).reduce(1, (a, b) -> a * b);
            outArray[i] = res/arr[i];
        }
        System.out.println(Arrays.toString(outArray));

У меня есть решение с O(n)пространственно- O(n^2)временной сложностью, представленное ниже,

public static int[] findEachElementAsProduct1(final int[] arr) {

        int len = arr.length;

//        int[] product = new int[len];
//        Arrays.fill(product, 1);

        int[] product = IntStream.generate(() -> 1).limit(len).toArray();


        for (int i = 0; i < len; i++) {

            for (int j = 0; j < len; j++) {

                if (i == j) {
                    continue;
                }

                product[i] *= arr[j];
            }
        }

        return product;
    }