Быстрая перестановка -> число -> алгоритмы сопоставления перестановок

У меня есть n элементов. Для примера, скажем, 7 элементов, 1234567. Я знаю, что их 7! = 5040 возможных перестановок этих 7 элементов.

Мне нужен быстрый алгоритм, состоящий из двух функций:

f (число) отображает число от 0 до 5039 в уникальную перестановку, а

f '(перестановка) отображает перестановку обратно на число, из которого она была сгенерирована.

Меня не волнует соответствие между числом и перестановкой, при условии, что каждая перестановка имеет свой уникальный номер.

Так, например, у меня могут быть функции, где

f(0) = '1234567'
f'('1234567') = 0

Самый быстрый алгоритм, который приходит на ум, - это перечислить все перестановки и создать таблицу поиска в обоих направлениях, так что после создания таблиц f (0) будет O (1), а f ('1234567') будет поиск по строке. Однако это требует памяти, особенно когда n становится большим.

Может ли кто-нибудь предложить другой алгоритм, который работал бы быстро и без недостатка памяти?

Чтобы описать перестановку n элементов, вы видите, что для позиции, в которой заканчивается первый элемент, у вас есть n возможностей, поэтому вы можете описать это числом от 0 до n-1. Для позиции, в которой заканчивается следующий элемент, у вас остается n-1 возможностей, поэтому вы можете описать это числом от 0 до n-2.
И так далее, пока у вас не будет n номеров.

В качестве примера для n = 5 рассмотрим перестановку, которая приводит abcdeк caebd.

• a, первый элемент оказывается во второй позиции, поэтому мы присваиваем ему индекс 1 .
• bзаканчивается на четвертой позиции, которая будет индексом 3, но это третья оставшаяся позиция, поэтому мы присваиваем ей 2 .
• cпопадает на первую оставшуюся позицию, которая всегда равна 0 .
• dпопадает в последнюю оставшуюся позицию, которая (из двух оставшихся позиций) равна 1 .
• eпопадает в единственную оставшуюся позицию с индексом 0 .

Итак, у нас есть индексная последовательность {1, 2, 0, 1, 0} .

Теперь вы знаете, что, например, в двоичном числе xyz означает z + 2y + 4x. Для десятичного числа
это z + 10y + 100x. Каждая цифра умножается на некоторый вес, и результаты суммируются. Очевидная закономерность в весе, конечно, состоит в том, что вес равен w = b ^ k, где b - основание числа, а k - индекс цифры. (Я всегда буду считать цифры справа и начиная с индекса 0 для самой правой цифры. Точно так же, когда я говорю о «первой» цифре, я имею в виду крайнюю правую.)

Причина , почему веса для цифр следовать этому образцу, что наибольшее число , которое может быть представлено цифрами от 0 до к должно быть ровно 1 меньше , чем наименьшее число , которое может быть представлено только с помощью цифр , к + 1. В двоичном формате 0111 должен быть на единицу меньше 1000. В десятичном виде 099999 должен быть на единицу меньше 100000.

Кодирование с использованием переменной базы
. Интервал между последующими числами, равный 1, является важным правилом. Понимая это, мы можем представить нашу последовательность индексов с помощью числа с переменной базой . База для каждой цифры - это количество различных возможностей для этой цифры. Для десятичной дроби каждая цифра имеет 10 возможных вариантов, для нашей системы крайняя правая цифра будет иметь 1 возможность, а крайняя левая - n вариантов. Но поскольку крайняя правая цифра (последнее число в нашей последовательности) всегда равна 0, мы ее опускаем. Это означает, что у нас остались основания от 2 до n. В общем, k-я цифра будет иметь основание b [k] = k + 2. Максимальное допустимое значение для цифры k равно h [k] = b [k] - 1 = k + 1.

Наше правило о весах w [k] цифр требует, чтобы сумма h [i] * w [i], где i идет от i = 0 до i = k, была равна 1 * w [k + 1]. Повторяясь, w [k + 1] = w [k] + h [k] * w [k] = w [k] * (h [k] + 1). Первый вес w [0] всегда должен быть 1. Начиная с этого момента, у нас есть следующие значения:

k    h[k] w[k]    

0    1    1  
1    2    2    
2    3    6    
3    4    24   
...  ...  ...
n-1  n    n!  

(Общее соотношение w [k-1] = k! Легко доказывается по индукции.)

Число, которое мы получим при преобразовании нашей последовательности, будет тогда суммой s [k] * w [k], где k изменяется от 0 до n-1. Здесь s [k] - k-й (крайний правый, начиная с 0) элемент последовательности. В качестве примера возьмем наш {1, 2, 0, 1, 0} с удаленным крайним правым элементом, как упоминалось ранее: {1, 2, 0, 1} . Наша сумма равна 1 * 1 + 0 * 2 + 2 * 6 + 1 * 24 = 37 .

Обратите внимание: если мы возьмем максимальную позицию для каждого индекса, у нас будет {4, 3, 2, 1, 0}, и это преобразуется в 119. Поскольку веса в нашей числовой кодировке были выбраны так, что мы не пропускаем любые числа, действительны все числа от 0 до 119. Их ровно 120, то есть n! для n = 5 в нашем примере это ровно количество различных перестановок. Таким образом, вы можете видеть, что наши закодированные числа полностью определяют все возможные перестановки.

Декодирование из переменной базы
Декодирование аналогично преобразованию в двоичное или десятичное. Общий алгоритм таков:

int number = 42;
int base = 2;
int[] bits = new int[n];

for (int k = 0; k < bits.Length; k++)
{
    bits[k] = number % base;
    number = number / base;
}

Для нашего числа с переменной базой:

int n = 5;
int number = 37;

int[] sequence = new int[n - 1];
int base = 2;

for (int k = 0; k < sequence.Length; k++)
{
    sequence[k] = number % base;
    number = number / base;

    base++; // b[k+1] = b[k] + 1
}

Это правильно декодирует наши 37 обратно в {1, 2, 0, 1} ( sequenceбудет {1, 0, 2, 1}в этом примере кода, но как бы то ни было ... при условии, что вы правильно индексируете). Нам просто нужно добавить 0 в правый конец (помните, что последний элемент всегда имеет только одну возможность для его новой позиции), чтобы вернуть нашу исходную последовательность {1, 2, 0, 1, 0}.

Перестановка списка с использованием последовательности индексов
Вы можете использовать приведенный ниже алгоритм для перестановки списка в соответствии с определенной последовательностью индексов. К сожалению, это алгоритм O (n²).

int n = 5;
int[] sequence = new int[] { 1, 2, 0, 1, 0 };
char[] list = new char[] { 'a', 'b', 'c', 'd', 'e' };
char[] permuted = new char[n];
bool[] set = new bool[n];

for (int i = 0; i < n; i++)
{
    int s = sequence[i];
    int remainingPosition = 0;
    int index;

    // Find the s'th position in the permuted list that has not been set yet.
    for (index = 0; index < n; index++)
    {
        if (!set[index])
        {
            if (remainingPosition == s)
                break;

            remainingPosition++;
        }
    }

    permuted[index] = list[i];
    set[index] = true;
}

Общее представление перестановок
Обычно вы представляете перестановку не так неинтуитивно, как мы, а просто по абсолютной позиции каждого элемента после применения перестановки. Наш пример {1, 2, 0, 1, 0} для abcdeto caebdобычно представлен как {1, 3, 0, 4, 2}. Каждый индекс от 0 до 4 (или вообще от 0 до n-1) встречается в этом представлении ровно один раз.

Применять перестановку в этой форме просто:

int[] permutation = new int[] { 1, 3, 0, 4, 2 };

char[] list = new char[] { 'a', 'b', 'c', 'd', 'e' };
char[] permuted = new char[n];

for (int i = 0; i < n; i++)
{
    permuted[permutation[i]] = list[i];
}

Инвертирование очень похоже:

for (int i = 0; i < n; i++)
{
    list[i] = permuted[permutation[i]];
}

Преобразование из нашего представления в общее представление
Обратите внимание, что если мы возьмем наш алгоритм для перестановки списка, используя нашу последовательность индексов, и применим его к перестановке идентичности {0, 1, 2, ..., n-1}, мы получим обратная перестановка, представленная в общем виде. ( {2, 0, 4, 1, 3} в нашем примере).

Чтобы получить неинвертированную премуляцию, мы применяем алгоритм перестановки, который я только что показал:

int[] identity = new int[] { 0, 1, 2, 3, 4 };
int[] inverted = { 2, 0, 4, 1, 3 };
int[] normal = new int[n];

for (int i = 0; i < n; i++)
{
    normal[identity[i]] = list[i];
}

Или вы можете просто применить перестановку напрямую, используя алгоритм обратной перестановки:

char[] list = new char[] { 'a', 'b', 'c', 'd', 'e' };
char[] permuted = new char[n];

int[] inverted = { 2, 0, 4, 1, 3 };

for (int i = 0; i < n; i++)
{
    permuted[i] = list[inverted[i]];
}

Обратите внимание, что все алгоритмы работы с перестановками в общей форме - O (n), а применение перестановок в нашей форме - O (n²). Если вам нужно применить перестановку несколько раз, сначала преобразуйте ее в общее представление.

Я нашел алгоритм O (n), вот краткое объяснение http://antoinecomeau.blogspot.ca/2014/07/mapping-between-permutations-and.html

public static int[] perm(int n, int k)
{
    int i, ind, m=k;
    int[] permuted = new int[n];
    int[] elems = new int[n];

    for(i=0;i<n;i++) elems[i]=i;

    for(i=0;i<n;i++)
    {
            ind=m%(n-i);
            m=m/(n-i);
            permuted[i]=elems[ind];
            elems[ind]=elems[n-i-1];
    }

    return permuted;
}

public static int inv(int[] perm)
{
    int i, k=0, m=1;
    int n=perm.length;
    int[] pos = new int[n];
    int[] elems = new int[n];

    for(i=0;i<n;i++) {pos[i]=i; elems[i]=i;}

    for(i=0;i<n-1;i++)
    {
            k+=m*pos[perm[i]];
            m=m*(n-i);
            pos[elems[n-i-1]]=pos[perm[i]];
            elems[pos[perm[i]]]=elems[n-i-1];
    }

    return k;
}

Сложность может быть уменьшена до n * log (n), см. Раздел 10.1.1 («Код Лемера (инверсионная таблица)», стр.232ff) fxtbook: http://www.jjj.de/fxt/ #fxtbook перейдите к разделу 10.1.1.1 («Вычисления с большими массивами», стр. 235), чтобы узнать о быстром методе. Код (под лицензией GPL, C ++) находится на той же веб-странице.

Это встроенная функция в J :

   A. 1 2 3 4 5 6 7
0
   0 A. 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7

   ?!7
5011
   5011 A. 1 2 3 4 5 6 7
7 6 4 5 1 3 2
   A. 7 6 4 5 1 3 2
5011

Задача решена. Однако я не уверен, что вам все еще нужно решение после этих лет. LOL, я просто присоединился к этому сайту, так что ... Проверьте мой класс перестановки Java. Вы можете использовать индекс, чтобы получить перестановку символов, или дать перестановку символов, а затем получить индекс.

Вот мой класс премутации

/**
 ****************************************************************************************************************
 * Copyright 2015 Fred Pang fred@pnode.com
 ****************************************************************************************************************
 * A complete list of Permutation base on an index.
 * Algorithm is invented and implemented by Fred Pang fred@pnode.com
 * Created by Fred Pang on 18/11/2015.
 ****************************************************************************************************************
 * LOL this is my first Java project. Therefore, my code is very much like C/C++. The coding itself is not
 * very professional. but...
 *
 * This Permutation Class can be use to generate a complete list of all different permutation of a set of symbols.
 * nPr will be n!/(n-r)!
 * the user can input       n = the number of items,
 *                          r = the number of slots for the items,
 *                          provided n >= r
 *                          and a string of single character symbols
 *
 * the program will generate all possible permutation for the condition.
 *
 * Say if n = 5, r = 3, and the string is "12345", it will generate sll 60 different permutation of the set
 * of 3 character strings.
 *
 * The algorithm I used is base on a bin slot.
 * Just like a human or simply myself to generate a permutation.
 *
 * if there are 5 symbols to chose from, I'll have 5 bin slot to indicate which symbol is taken.
 *
 * Note that, once the Permutation object is initialized, or after the constructor is called, the permutation
 * table and all entries are defined, including an index.
 *
 * eg. if pass in value is 5 chose 3, and say the symbol string is "12345"
 * then all permutation table is logically defined (not physically to save memory).
 * It will be a table as follows
 *  index  output
 *      0   123
 *      1   124
 *      2   125
 *      3   132
 *      4   134
 *      5   135
 *      6   143
 *      7   145
 *      :     :
 *      58  542
 *      59  543
 *
 * all you need to do is call the "String PermGetString(int iIndex)" or the "int[] PermGetIntArray(int iIndex)"
 * function or method with an increasing iIndex, starting from 0 to getiMaxIndex() - 1. It will return the string
 * or the integer array corresponding to the index.
 *
 * Also notice that in the input string is "12345" of  position 01234, and the output is always in accenting order
 * this is how the permutation is generated.
 *
 * ***************************************************************************************************************
 * ====  W a r n i n g  ====
 * ***************************************************************************************************************
 *
 * There is very limited error checking in this class
 *
 * Especially the  int PermGetIndex(int[] iInputArray)  method
 * if the input integer array contains invalid index, it WILL crash the system
 *
 * the other is the string of symbol pass in when the object is created, not sure what will happen if the
 * string is invalid.
 * ***************************************************************************************************************
 *
 */
public class Permutation
{
    private boolean bGoodToGo = false;      // object status
    private boolean bNoSymbol = true;
    private BinSlot slot;                   // a bin slot of size n (input)
    private int nTotal;                     // n number for permutation
    private int rChose;                     // r position to chose
    private String sSymbol;                 // character string for symbol of each choice
    private String sOutStr;
    private int iMaxIndex;                  // maximum index allowed in the Get index function
    private int[] iOutPosition;             // output array
    private int[] iDivisorArray;            // array to do calculation

    public Permutation(int inCount, int irCount, String symbol)
    {
        if (inCount >= irCount)
        {
            // save all input values passed in
            this.nTotal = inCount;
            this.rChose = irCount;
            this.sSymbol = symbol;

            // some error checking
            if (inCount < irCount || irCount <= 0)
                return;                                 // do nothing will not set the bGoodToGo flag

            if (this.sSymbol.length() >= inCount)
            {
                bNoSymbol = false;
            }

            // allocate output storage
            this.iOutPosition = new int[this.rChose];

            // initialize the bin slot with the right size
            this.slot = new BinSlot(this.nTotal);

            // allocate and initialize divid array
            this.iDivisorArray = new int[this.rChose];

            // calculate default values base on n & r
            this.iMaxIndex = CalPremFormula(this.nTotal, this.rChose);

            int i;
            int j = this.nTotal - 1;
            int k = this.rChose - 1;

            for (i = 0; i < this.rChose; i++)
            {
                this.iDivisorArray[i] = CalPremFormula(j--, k--);
            }
            bGoodToGo = true;       // we are ready to go
        }
    }

    public String PermGetString(int iIndex)
    {
        if (!this.bGoodToGo) return "Error: Object not initialized Correctly";
        if (this.bNoSymbol) return "Error: Invalid symbol string";
        if (!this.PermEvaluate(iIndex)) return "Invalid Index";

        sOutStr = "";
        // convert string back to String output
        for (int i = 0; i < this.rChose; i++)
        {
            String sTempStr = this.sSymbol.substring(this.iOutPosition[i], iOutPosition[i] + 1);
            this.sOutStr = this.sOutStr.concat(sTempStr);
        }
        return this.sOutStr;
    }

    public int[] PermGetIntArray(int iIndex)
    {
        if (!this.bGoodToGo) return null;
        if (!this.PermEvaluate(iIndex)) return null ;
        return this.iOutPosition;
    }

    // given an int array, and get the index back.
    //
    //  ====== W A R N I N G ======
    //
    // there is no error check in the array that pass in
    // if any invalid value in the input array, it can cause system crash or other unexpected result
    //
    // function pass in an int array generated by the PermGetIntArray() method
    // then return the index value.
    //
    // this is the reverse of the PermGetIntArray()
    //
    public int PermGetIndex(int[] iInputArray)
    {
        if (!this.bGoodToGo) return -1;
        return PermDoReverse(iInputArray);
    }


    public int getiMaxIndex() {
    return iMaxIndex;
}

    // function to evaluate nPr = n!/(n-r)!
    public int CalPremFormula(int n, int r)
    {
        int j = n;
        int k = 1;
        for (int i = 0; i < r; i++, j--)
        {
            k *= j;
        }
        return k;
    }


//  PermEvaluate function (method) base on an index input, evaluate the correspond permuted symbol location
//  then output it to the iOutPosition array.
//
//  In the iOutPosition[], each array element corresponding to the symbol location in the input string symbol.
//  from location 0 to length of string - 1.

    private boolean PermEvaluate(int iIndex)
    {
        int iCurrentIndex;
        int iCurrentRemainder;
        int iCurrentValue = iIndex;
        int iCurrentOutSlot;
        int iLoopCount;

        if (iIndex >= iMaxIndex)
            return false;

        this.slot.binReset();               // clear bin content
        iLoopCount = 0;
        do {
            // evaluate the table position
            iCurrentIndex = iCurrentValue / this.iDivisorArray[iLoopCount];
            iCurrentRemainder = iCurrentValue % this.iDivisorArray[iLoopCount];

            iCurrentOutSlot = this.slot.FindFreeBin(iCurrentIndex);     // find an available slot
            if (iCurrentOutSlot >= 0)
                this.iOutPosition[iLoopCount] = iCurrentOutSlot;
            else return false;                                          // fail to find a slot, quit now

            this.slot.setStatus(iCurrentOutSlot);                       // set the slot to be taken
            iCurrentValue = iCurrentRemainder;                          // set new value for current value.
            iLoopCount++;                                               // increase counter
        } while (iLoopCount < this.rChose);

        // the output is ready in iOutPosition[]
        return true;
    }

    //
    // this function is doing the reverse of the permutation
    // the input is a permutation and will find the correspond index value for that entry
    // which is doing the opposit of the PermEvaluate() method
    //
    private int PermDoReverse(int[] iInputArray)
    {
        int iReturnValue = 0;
        int iLoopIndex;
        int iCurrentValue;
        int iBinLocation;

        this.slot.binReset();               // clear bin content

        for (iLoopIndex = 0; iLoopIndex < this.rChose; iLoopIndex++)
        {
            iCurrentValue = iInputArray[iLoopIndex];
            iBinLocation = this.slot.BinCountFree(iCurrentValue);
            this.slot.setStatus(iCurrentValue);                          // set the slot to be taken
            iReturnValue = iReturnValue + iBinLocation * this.iDivisorArray[iLoopIndex];
        }
        return iReturnValue;
    }


    /*******************************************************************************************************************
     *******************************************************************************************************************
     * Created by Fred on 18/11/2015.   fred@pnode.com
     *
     * *****************************************************************************************************************
     */
    private static class BinSlot
    {
        private int iBinSize;       // size of array
        private short[] eStatus;    // the status array must have length iBinSize

        private BinSlot(int iBinSize)
        {
            this.iBinSize = iBinSize;               // save bin size
            this.eStatus = new short[iBinSize];     // llocate status array
        }

        // reset the bin content. no symbol is in use
        private void binReset()
        {
            // reset the bin's content
            for (int i = 0; i < this.iBinSize; i++) this.eStatus[i] = 0;
        }

        // set the bin position as taken or the number is already used, cannot be use again.
        private void  setStatus(int iIndex) { this.eStatus[iIndex]= 1; }

        //
        // to search for the iIndex th unused symbol
        // this is important to search through the iindex th symbol
        // because this is how the table is setup. (or the remainder means)
        // note: iIndex is the remainder of the calculation
        //
        // for example:
        // in a 5 choose 3 permutation symbols "12345",
        // the index 7 item (count starting from 0) element is "1 4 3"
        // then comes the index 8, 8/12 result 0 -> 0th symbol in symbol string = '1'
        // remainder 8. then 8/3 = 2, now we need to scan the Bin and skip 2 unused bins
        //              current the bin looks 0 1 2 3 4
        //                                    x o o o o     x -> in use; o -> free only 0 is being used
        //                                      s s ^       skipped 2 bins (bin 1 and 2), we get to bin 3
        //                                                  and bin 3 is the bin needed. Thus symbol "4" is pick
        // in 8/3, there is a remainder 2 comes in this function as 2/1 = 2, now we have to pick the empty slot
        // for the new 2.
        // the bin now looks 0 1 2 3 4
        //                   x 0 0 x 0      as bin 3 was used by the last value
        //                     s s   ^      we skip 2 free bins and the next free bin is bin 4
        //                                  therefor the symbol "5" at the symbol array is pick.
        //
        // Thus, for index 8  "1 4 5" is the symbols.
        //
        //
        private int FindFreeBin(int iIndex)
        {
            int j = iIndex;

            if (j < 0 || j > this.iBinSize) return -1;               // invalid index

            for (int i = 0; i < this.iBinSize; i++)
            {
                if (this.eStatus[i] == 0)       // is it used
                {
                    // found an empty slot
                    if (j == 0)                 // this is a free one we want?
                        return i;               // yes, found and return it.
                    else                        // we have to skip this one
                        j--;                    // else, keep looking and count the skipped one
                }
            }
            assert(true);           // something is wrong
            return -1;              // fail to find the bin we wanted
        }

        //
        // this function is to help the PermDoReverse() to find out what is the corresponding
        // value during should be added to the index value.
        //
        // it is doing the opposite of int FindFreeBin(int iIndex) method. You need to know how this
        // FindFreeBin() works before looking into this function.
        //
        private int BinCountFree(int iIndex)
        {
            int iRetVal = 0;
            for (int i = iIndex; i > 0; i--)
            {
                if (this.eStatus[i-1] == 0)       // it is free
                {
                    iRetVal++;
                }
            }
            return iRetVal;
        }
    }
}
// End of file - Permutation.java

и вот мой основной класс, показывающий, как его использовать.

/*
 * copyright 2015 Fred Pang
 *
 * This is the main test program for testing the Permutation Class I created.
 * It can be use to demonstrate how to use the Permutation Class and its methods to generate a complete
 * list of a permutation. It also support function to get back the index value as pass in a permutation.
 *
 * As you can see my Java is not very good. :)
 * This is my 1st Java project I created. As I am a C/C++ programmer for years.
 *
 * I still have problem with the Scanner class and the System class.
 * Note that there is only very limited error checking
 *
 *
 */

import java.util.Scanner;

public class Main
{
    private static Scanner scanner = new Scanner(System.in);

    public static void main(String[] args)
    {
        Permutation perm;       // declear the object
        String sOutString = "";
        int nCount;
        int rCount;
        int iMaxIndex;

        // Get user input
        System.out.println("Enter n: ");
        nCount = scanner.nextInt();

        System.out.println("Enter r: ");
        rCount = scanner.nextInt();

        System.out.println("Enter Symbol: ");
        sOutString = scanner.next();

        if (sOutString.length() < rCount)
        {
            System.out.println("String too short, default to numbers");
            sOutString = "";
        }

        // create object with user requirement
        perm = new Permutation(nCount, rCount, sOutString);

        // and print the maximum count
        iMaxIndex = perm.getiMaxIndex();
        System.out.println("Max count is:" + iMaxIndex);

        if (!sOutString.isEmpty())
        {
            for (int i = 0; i < iMaxIndex; i++)
            {   // print out the return permutation symbol string
                System.out.println(i + " " + perm.PermGetString(i));
            }
        }
        else
        {
            for (int i = 0; i < iMaxIndex; i++)
            {
                System.out.print(i + " ->");

                // Get the permutation array
                int[] iTemp = perm.PermGetIntArray(i);

                // print out the permutation
                for (int j = 0; j < rCount; j++)
                {
                    System.out.print(' ');
                    System.out.print(iTemp[j]);
                }

                // to verify my PermGetIndex() works. :)
                if (perm.PermGetIndex(iTemp)== i)
                {
                    System.out.println(" .");
                }
                else
                {   // oops something is wrong :(
                    System.out.println(" ***************** F A I L E D *************************");
                    assert(true);
                    break;
                }
            }
        }
    }
}
//
// End of file - Main.java

Радоваться, веселиться. :)

Каждый элемент может находиться в одной из семи позиций. Чтобы описать положение одного элемента, вам понадобятся три бита. Это означает, что вы можете сохранить положение всех элементов в 32-битном значении. Это далеко не эффективно, поскольку такое представление даже позволяет всем элементам находиться в одной позиции, но я считаю, что битовая маскировка должна быть достаточно быстрой.

Однако с более чем 8 позициями вам понадобится что-то более изящное.

Вы можете кодировать перестановки, используя рекурсивный алгоритм. Если N-перестановка (некоторый порядок чисел {0, .., N-1}) имеет форму {x, ...}, тогда закодируйте ее как x + N *, кодируя (N-1) -перестановка, представленная "..." в числах {0, N-1} - {x}. Похоже на то, что вот код:

// perm[0]..perm[n-1] must contain the numbers in {0,..,n-1} in any order.
int permToNumber(int *perm, int n) {
  // base case
  if (n == 1) return 0;

  // fix up perm[1]..perm[n-1] to be a permutation on {0,..,n-2}.
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    if (perm[i] > perm[0]) perm[i]--;
  }

  // recursively compute
  return perm[0] + n * permToNumber(perm + 1, n - 1);
}

// number must be >=0, < n!
void numberToPerm(int number, int *perm, int n) {
  if (n == 1) {
    perm[0] = 0;
    return;
  }
  perm[0] = number % n;
  numberToPerm(number / n, perm + 1, n - 1);

  // fix up perm[1] .. perm[n-1]
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    if (perm[i] >= perm[0]) perm[i]++;
  }
}

Это алгоритм O (n ^ 2). Бонусные баллы, если у кого-то есть алгоритм O (n).

Какой интересный вопрос!

Если все ваши элементы являются числами, вы можете рассмотреть возможность преобразования их из строк в реальные числа. Тогда вы сможете отсортировать все перестановки, расположив их по порядку, и поместить их в массив. После этого вы будете открыты для любого из различных алгоритмов поиска.

Я поспешил в своем предыдущем ответе (удален), но у меня есть фактический ответ. Он обеспечивается аналогичной концепцией, факто-радикальным , и связан с перестановками (мой ответ связан с комбинациями, прошу прощения за эту путаницу). Я ненавижу просто публиковать ссылки на Википедию, но моя запись, которую я сделал некоторое время назад, по какой-то причине непонятна. Так что я могу подробнее остановиться на этом позже, если потребуется.

Об этом написана книга. Извините, но я не помню его названия (вполне вероятно, вы найдете его в Википедии). но в любом случае я написал реализацию этой системы перечисления на python: http://kks.cabal.fi/Kombinaattori Некоторые из них на финском, но просто скопируйте переменные code и name ...

У меня был именно этот вопрос, и я подумал, что предоставлю свое решение Python. Это O (n ^ 2).

import copy

def permute(string, num):
    ''' generates a permutation '''
    def build_s(factoradic): # Build string from factoradic in list form
        string0 = copy.copy(string)
        n = []
        for i in range(len(factoradic)):
            n.append(string0[factoradic[i]])
            del string0[factoradic[i]]
        return n

    f = len(string)
    factoradic = []
    while(f != 0): # Generate factoradic number list
        factoradic.append(num % f)
        num = (num - factoradic[-1])//f
        f -= 1

    return build_s(factoradic)

s = set()
# Print 120 permutations of this string
for i in range(120):
    m = permute(list('abcde'), i)
    s.add(''.join(m))

print(len(s)) # Check that we have 120 unique permutations

Это довольно просто; после создания фактического представления числа я просто выбираю и удаляю символы из строки. Удаление из строки - вот почему это решение O (n ^ 2).

Решение Антуана лучше для производительности.

Связанный с этим вопрос - вычисление обратной перестановки, перестановки, которая восстановит переставленные векторы в исходный порядок, когда известен только массив перестановок. Вот код O (n) (в PHP):

// Compute the inverse of a permutation
function GetInvPerm($Perm)
    {
    $n=count($Perm);
    $InvPerm=[];
    for ($i=0; $i<$n; ++$i)
        $InvPerm[$Perm[$i]]=$i;
    return $InvPerm;
    } // GetInvPerm

Программное обеспечение Дэвида Спектора Springtime