Есть ли в чистых функциональных языках алгоритм для получения обратной функции?

В чистых функциональных языках, таких как Haskell, есть ли алгоритм, позволяющий получить обратную функцию (редактировать), если она биективна? И есть ли какой-то особый способ запрограммировать вашу функцию?

В некоторых случаях да! Есть красивая статья под названием " Двунаправленность бесплатно!" в котором обсуждается несколько случаев - когда ваша функция достаточно полиморфна - где это возможно, полностью автоматически получить обратную функцию. (Здесь также обсуждается, что усложняет проблему, когда функции не полиморфны.)

В случае, если ваша функция обратима, вы получите обратное (с ложным входом); в других случаях вы получаете функцию, которая пытается «объединить» старое входное значение и новое выходное значение.

Нет, это вообще невозможно.

Доказательство: рассмотрим биективные функции типа

type F = [Bit] -> [Bit]

с участием

data Bit = B0 | B1

Предположим, у нас есть такой инвертор inv :: F -> F, что inv f . f ≡ id. Допустим, мы проверили его на функцию f = id, подтвердив, что

inv f (repeat B0) -> (B0 : ls)

Поскольку этот первый B0результат должен был появиться через некоторое конечное время, у нас есть верхняя граница nкак глубины, до которой invфактически оценивались наши тестовые входные данные для получения этого результата, так и количества раз, которое он мог вызвать f. Определите теперь семейство функций

g j (B1 : B0 : ... (n+j times) ... B0 : ls)
   = B0 : ... (n+j times) ... B0 : B1 : ls
g j (B0 : ... (n+j times) ... B0 : B1 : ls)
   = B1 : B0 : ... (n+j times) ... B0 : ls
g j l = l

Очевидно, что для всех 0<j≤n, g jбиекция, на самом деле самообратных. Итак, мы сможем подтвердить

inv (g j) (replicate (n+j) B0 ++ B1 : repeat B0) -> (B1 : ls)

но для этого inv (g j)потребовалось бы либо

• оценить g j (B1 : repeat B0)до глубиныn+j > n
• оценить head $ g j lпо крайней мере nсоответствие различных списковreplicate (n+j) B0 ++ B1 : ls

До этого момента, по крайней мере, одно из g jних неотличимо от f, и, поскольку inv fне было выполнено ни одной из этих оценок, invневозможно было отличить его отдельно - за исключением выполнения некоторых измерений времени выполнения самостоятельно, что возможно только в IO Monad.

                                                                                                                                   ⬜

Вы можете найти это в Википедии, это называется Reversible Computing .

В общем, вы не можете этого сделать, и ни один из функциональных языков не имеет такой возможности. Например:

f :: a -> Int
f _ = 1

У этой функции нет обратного.

Не в большинстве функциональных языков, но в логическом программировании или реляционном программировании, большинство функций, которые вы определяете, на самом деле являются не функциями, а «отношениями», и их можно использовать в обоих направлениях. См., Например, пролог или канрен.

Подобные задачи почти всегда неразрешимы. У вас может быть решение для некоторых конкретных функций, но не в целом.

Здесь вы даже не можете распознать, какие функции имеют инверсию. Цитата Барендрегта, HP. Лямбда-исчисление: его синтаксис и семантика. Северная Голландия, Амстердам (1984) :

Набор лямбда-членов нетривиален, если он не является ни пустым, ни полным. Если A и B два нетривиальных непересекающихся набора лямбда-членов, замкнутых относительно (бета) равенства, то A и B рекурсивно неразделимы.

Возьмем A как набор лямбда-членов, которые представляют обратимые функции, а B - все остальное. Оба непусты и закрыты по бета-равенству. Таким образом, невозможно решить, является ли функция обратимой или нет.

(Это относится к нетипизированному лямбда-исчислению. ТБХ Я не знаю, можно ли напрямую адаптировать аргумент к типизированному лямбда-исчислению, если мы знаем тип функции, которую хотим инвертировать. Но я почти уверен, что это будет аналогичный.)

Если вы можете перечислить область определения функции и сравнить элементы диапазона на предмет равенства, вы можете - довольно простым способом. Под перечислением я подразумеваю наличие списка всех доступных элементов. Я буду придерживаться Haskell, так как я не знаю Ocaml (или даже как правильно его использовать ;-)

Что вы хотите сделать, так это пройтись по элементам домена и посмотреть, равны ли они элементу диапазона, который вы пытаетесь инвертировать, и выбрать первый, который работает:

inv :: Eq b => [a] -> (a -> b) -> (b -> a)
inv domain f b = head [ a | a <- domain, f a == b ]

Поскольку вы заявили, что fэто биекция, обязательно должен быть один и только один такой элемент. Уловка, конечно же, состоит в том, чтобы гарантировать, что ваше перечисление домена действительно достигнет всех элементов за конечное время . Если вы пытаетесь инвертировать биекцию с Integerна Integer, использование [0,1 ..] ++ [-1,-2 ..]не сработает, так как вы никогда не доберетесь до отрицательных чисел. Конкретно, inv ([0,1 ..] ++ [-1,-2 ..]) (+1) (-3)никогда не даст значения.

Однако 0 : concatMap (\x -> [x,-x]) [1..]это сработает, поскольку целые числа проходят в следующем порядке [0,1,-1,2,-2,3,-3, and so on]. Действительно inv (0 : concatMap (\x -> [x,-x]) [1..]) (+1) (-3)оперативно возвращается -4!

Пакет Control.Monad.Omega может помочь вам хорошо просмотреть списки кортежей и так далее; Я уверен, что таких пакетов много, но я их не знаю.

Конечно, это довольно простой и грубый подход, не говоря уже о безобразном и неэффективном! Итак, я закончу несколькими замечаниями по последней части вашего вопроса о том, как «писать» биекции. Система типов Haskell не способна доказать, что функция является взаимно однозначной - для этого вам действительно нужно что-то вроде Agda - но она готова вам доверять.

(Предупреждение: следует непроверенный код)

Итак, можете ли вы определить тип данных Bijections между типами aи b:

data Bi a b = Bi {
    apply :: a -> b,
    invert :: b -> a 
}

вместе с любым количеством констант (где вы можете сказать: «Я знаю, что это биекция!»), например:

notBi :: Bi Bool Bool
notBi = Bi not not

add1Bi :: Bi Integer Integer
add1Bi = Bi (+1) (subtract 1)

и пара умных комбинаторов, таких как:

idBi :: Bi a a 
idBi = Bi id id

invertBi :: Bi a b -> Bi b a
invertBi (Bi a i) = (Bi i a)

composeBi :: Bi a b -> Bi b c -> Bi a c
composeBi (Bi a1 i1) (Bi a2 i2) = Bi (a2 . a1) (i1 . i2)

mapBi :: Bi a b -> Bi [a] [b]
mapBi (Bi a i) = Bi (map a) (map i)

bruteForceBi :: Eq b => [a] -> (a -> b) -> Bi a b
bruteForceBi domain f = Bi f (inv domain f)

Думаю, тогда можно было сделать invert (mapBi add1Bi) [1,5,6]и получить [0,4,5]. Если вы выберете комбинаторы с умом, я думаю, что количество раз, которое вам придется писать Biконстанту вручную, может быть весьма ограниченным.

В конце концов, если вы знаете, что функция является биекцией, вы, надеюсь, будете иметь в своей голове схему доказательства этого факта, которую изоморфизм Карри-Ховарда сможет превратить в программу :-)

Я недавно сталкивался с подобными проблемами, и нет, я бы сказал, что (а) во многих случаях это не сложно, но (б) это совсем неэффективно.

В принципе, предположим, что у вас есть f :: a -> b, и это fдействительно обман. Вы можете вычислить обратное f' :: b -> aочень глупым способом:

import Data.List

-- | Class for types whose values are recursively enumerable.
class Enumerable a where
    -- | Produce the list of all values of type @a@.
    enumerate :: [a]

 -- | Note, this is only guaranteed to terminate if @f@ is a bijection!
invert :: (Enumerable a, Eq b) => (a -> b) -> b -> Maybe a
invert f b = find (\a -> f a == b) enumerate

Если fэто взаимное соответствие и enumerateдействительно производит все значения a, то в конечном итоге вы попадете в aтакое, что f a == b.

Типы, у которых есть a Boundedи Enumэкземпляр, можно создать тривиально RecursivelyEnumerable. EnumerableТакже могут быть составлены пары типов Enumerable:

instance (Enumerable a, Enumerable b) => Enumerable (a, b) where
    enumerate = crossWith (,) enumerate enumerate

crossWith :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]
crossWith f _ [] = []
crossWith f [] _ = []
crossWith f (x0:xs) (y0:ys) =
    f x0 y0 : interleave (map (f x0) ys) 
                         (interleave (map (flip f y0) xs)
                                     (crossWith f xs ys))

interleave :: [a] -> [a] -> [a]
interleave xs [] = xs
interleave [] ys = []
interleave (x:xs) ys = x : interleave ys xs

То же самое и с дизъюнкциями Enumerableтипов:

instance (Enumerable a, Enumerable b) => Enumerable (Either a b) where
    enumerate = enumerateEither enumerate enumerate

enumerateEither :: [a] -> [b] -> [Either a b]
enumerateEither [] ys = map Right ys
enumerateEither xs [] = map Left xs
enumerateEither (x:xs) (y:ys) = Left x : Right y : enumerateEither xs ys

Тот факт, что мы можем сделать это и для, (,)и, Eitherвероятно, означает, что мы можем сделать это для любого алгебраического типа данных.

Не у каждой функции есть обратная. Если вы ограничите обсуждение однозначными функциями, возможность инвертировать произвольную функцию дает возможность взломать любую криптосистему. Мы как бы должны надеяться, что это невозможно даже теоретически!

В некоторых случаях можно найти обратную функцию к биективной функции, преобразовав ее в символическое представление. Основываясь на этом примере , я написал эту программу на Haskell, чтобы найти инверсии некоторых простых полиномиальных функций:

bijective_function x = x*2+1

main = do
    print $ bijective_function 3
    print $ inverse_function bijective_function (bijective_function 3)

data Expr = X | Const Double |
            Plus Expr Expr | Subtract Expr Expr | Mult Expr Expr | Div Expr Expr |
            Negate Expr | Inverse Expr |
            Exp Expr | Log Expr | Sin Expr | Atanh Expr | Sinh Expr | Acosh Expr | Cosh Expr | Tan Expr | Cos Expr |Asinh Expr|Atan Expr|Acos Expr|Asin Expr|Abs Expr|Signum Expr|Integer
       deriving (Show, Eq)

instance Num Expr where
    (+) = Plus
    (-) = Subtract
    (*) = Mult
    abs = Abs
    signum = Signum
    negate = Negate
    fromInteger a = Const $ fromIntegral a

instance Fractional Expr where
    recip = Inverse
    fromRational a = Const $ realToFrac a
    (/) = Div

instance Floating Expr where
    pi = Const pi
    exp = Exp
    log = Log
    sin = Sin
    atanh = Atanh
    sinh = Sinh
    cosh = Cosh
    acosh = Acosh
    cos = Cos
    tan = Tan
    asin = Asin
    acos = Acos
    atan = Atan
    asinh = Asinh

fromFunction f = f X

toFunction :: Expr -> (Double -> Double)
toFunction X = \x -> x
toFunction (Negate a) = \a -> (negate a)
toFunction (Const a) = const a
toFunction (Plus a b) = \x -> (toFunction a x) + (toFunction b x)
toFunction (Subtract a b) = \x -> (toFunction a x) - (toFunction b x)
toFunction (Mult a b) = \x -> (toFunction a x) * (toFunction b x)
toFunction (Div a b) = \x -> (toFunction a x) / (toFunction b x)


with_function func x = toFunction $ func $ fromFunction x

simplify X = X
simplify (Div (Const a) (Const b)) = Const (a/b)
simplify (Mult (Const a) (Const b)) | a == 0 || b == 0 = 0 | otherwise = Const (a*b)
simplify (Negate (Negate a)) = simplify a
simplify (Subtract a b) = simplify ( Plus (simplify a) (Negate (simplify b)) )
simplify (Div a b) | a == b = Const 1.0 | otherwise = simplify (Div (simplify a) (simplify b))
simplify (Mult a b) = simplify (Mult (simplify a) (simplify b))
simplify (Const a) = Const a
simplify (Plus (Const a) (Const b)) = Const (a+b)
simplify (Plus a (Const b)) = simplify (Plus (Const b) (simplify a))
simplify (Plus (Mult (Const a) X) (Mult (Const b) X)) = (simplify (Mult (Const (a+b)) X))
simplify (Plus (Const a) b) = simplify (Plus (simplify b) (Const a))
simplify (Plus X a) = simplify (Plus (Mult 1 X) (simplify a))
simplify (Plus a X) = simplify (Plus (Mult 1 X) (simplify a))
simplify (Plus a b) = (simplify (Plus (simplify a) (simplify b)))
simplify a = a

inverse X = X
inverse (Const a) = simplify (Const a)
inverse (Mult (Const a) (Const b)) = Const (a * b)
inverse (Mult (Const a) X) = (Div X (Const a))
inverse (Plus X (Const a)) = (Subtract X (Const a))
inverse (Negate x) = Negate (inverse x)
inverse a = inverse (simplify a)

inverse_function x = with_function inverse x

Этот пример работает только с арифметическими выражениями, но его, вероятно, можно было бы обобщить и для работы со списками.

Нет, не все функции имеют даже обратные. Например, что было бы обратной этой функции?

f x = 1