Этот код всегда оценивается как ложный? Обе переменные являются двумя знаковыми дополнениями.

~x + ~y == ~(x + y)

Я чувствую, что должно быть какое-то число, которое удовлетворяет условиям. Я пытался проверить числа между, но так -5000и 5000не достиг равенства. Есть ли способ установить уравнение, чтобы найти решение для условия?

Будет ли замена одного на другой причиной коварной ошибки в моей программе?

Предположим ради противоречия, что существуют некоторые xи некоторые y(mod 2 ⁿ ) такие, что

~(x+y) == ~x + ~y

В дополнение к двум * мы знаем, что

      -x == ~x + 1
<==>  -1 == ~x + x

Отмечая этот результат, мы имеем,

      ~(x+y) == ~x + ~y
<==>  ~(x+y) + (x+y) == ~x + ~y + (x+y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == (~x + x) + (~y + y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -1 + -1
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -2
<==>  -1 == -2

Отсюда и противоречие. Поэтому ~(x+y) != ~x + ~yдля всех xи y(мод 2 ^н ).

^{* Интересно отметить, что на машине с арифметикой дополнения равенство действительно справедливо для всех xи y. Это потому, что под чьим-то дополнением ~x = -x. Таким образом, ~x + ~y == -x + -y == -(x+y) == ~(x+y).}

Два дополнения

На подавляющем большинстве компьютеров, если xэто целое число, то -xпредставляется как ~x + 1. Эквивалентно ~x == -(x + 1). Создание этой подстановки в вашем уравнении дает:

• ~ x + ~ y == ~ (x + y)
• - (x + 1) + - (y + 1) = - ((x + y) + 1)
• -x - y - 2 = -x - y - 1
• -2 = -1

что является противоречием, поэтому ~x + ~y == ~(x + y)всегда ложно .

Тем не менее, педанты будут указывать, что C не требует дополнения до двух, поэтому мы должны также рассмотреть ...

Свой комплимент

В дополнение , -xпросто представлен как ~x. Ноль - это особый случай, имеющий представления как all-0's ( +0), так и all-1's ( -0), но IIRC, C требует, +0 == -0даже если они имеют разные битовые комбинации, так что это не должно быть проблемой. Просто заменить ~с -.

• ~ x + ~ y == ~ (x + y)
• -x + (-y) = - (x + y)

что верно для всех xи y.

Рассмотрим только самый правый бит обоих xи y(т.е. если он x == 13находится 1101в базе 2, мы рассмотрим только последний бит, а 1) Тогда есть четыре возможных случая:

х = 0, у = 0:

LHS: ~ 0 + ~ 0 => 1 + 1 => 10
RHS: ~ (0 + 0) => ~ 0 => 1

х = 0, у = 1:

LHS: ~ 0 + ~ 1 => 1 + 0 => 1
RHS: ~ (0 + 1) => ~ 1 => 0

х = 1, у = 0:

Я оставлю это на ваше усмотрение, так как это домашняя работа (подсказка: она такая же, как и предыдущая с заменой x и y).

х = 1, у = 1:

Я оставлю это на ваше усмотрение.

Вы можете показать, что самый правый бит всегда будет отличаться в левой и правой частях уравнения с учетом любого возможного ввода, поэтому вы доказали, что обе стороны не равны, поскольку у них есть хотя бы один перевернутый бит друг от друга.

Если количество битов равно n

~x = (2^n - 1) - x
~y = (2^n - 1) - y


~x + ~y = (2^n - 1) +(2^n - 1) - x - y =>  (2^n + (2^n - 1) - x - y ) - 1 => modulo: (2^n - 1) - x - y - 1.

Сейчас,

 ~(x + y) = (2^n - 1) - (x + y) = (2^n - 1) - x - y.

Следовательно, они всегда будут неравными, с разницей в 1.

Подсказка:

x + ~x = -1(мод 2 ^н )

Предполагая, что целью этого вопроса является проверка вашей математики (а не навыков чтения спецификаций), вы должны получить ответ.

Это можно доказать как в одном, так и в двух (и даже в 42-х годах):

~x + ~y == ~(x + a) + ~(y - a)

Теперь позвольте a = yи мы имеем:

~x + ~y == ~(x + y) + ~(y - y)

или:

~x + ~y == ~(x + y) + ~0

Следовательно, в дополнение к этому ~0 = -1, утверждение неверно.

В дополнение к этому ~0 = 0, утверждение верно.

Согласно книге Денниса Ритчи, Си не реализует дополнение двух по умолчанию. Поэтому ваш вопрос не всегда может быть правдой.

Позвольте MAX_INTбыть int, представленный как 011111...111(для скольких битов не существует). Тогда вы это знаете, ~x + x = MAX_INTи ~y + y = MAX_INT, следовательно, поэтому вы наверняка будете знать, что разница между ~x + ~yи ~(x + y)есть 1.

С не требует, чтобы два дополнения были тем, что реализовано. Однако для целого числа без знака применяется аналогичная логика. Различия всегда будут 1 по этой логике!

Конечно, C не требует такого поведения, потому что не требует представления дополнения до двух. Например, ~x = (2^n - 1) - x& ~y = (2^n - 1) - yполучит этот результат.

Ах, фундаментальная дискретная математика!

Проверьте закон де Моргана

~x & ~y == ~(x | y)

~x | ~y == ~(x & y)

Очень важно для логических доказательств!