Какую математику действительно используют инженеры? [закрыто]

Я из секции StackExchange по математике, многие из моих студентов - студенты-инженеры в университете. Мне было интересно, какое исчисление вы используете настоящие инженеры? Я знал двух инженеров. Один из конструкции самолета, а другой из метрологии. В первом использовалось очень небольшое исчисление, некоторые ОДУ с постоянными коэффициентами при линеаризации. Последний использовал только основную математику, без исчисления, с некоторым превосходством. Я хочу быть честным с любым студентом-инженером, чтобы они знали, что их ждет.

Кроме того, дополнительный вопрос. Считаете ли вы полезным иметь около четырех семестров исчисления? Может быть, вы ничего из этого не используете, но это улучшает ваши математические рассуждения, что положительно влияет на ваши инженерные навыки?

В моей степени гражданского строительства мы использовали ODE для связи между силой, моментом и отклонением. Я не помню, чтобы сам использовал PDE, но мой зять (занимался гражданским делом в другом университете) использовал их для гидравлики.

В реальной жизни (как проектировщик мостов) я не помню, чтобы на самом деле использовал исчисление. Университет в основном концентрировался на теории и используемых математических моделях, в то время как в реальном инженерном проектировании у нас есть компьютерное программное обеспечение, которое делает все вычисления за нас.

Я думаю, что теоретические и математические знания в университете очень полезны - как профессиональный инженер, вы должны иметь базовые знания, чтобы знать, дает ли программное обеспечение разумный ответ.

(Кроме того, как вы упомянули Excel, я использовал это чертовски много в реальном дизайне.)

Первоначально я написал это как комментарий к ответу AndyT, но в ответ на комментарий dcorking я решил расширить его здесь.

Я закончил почти 30 лет, и мой опыт похож на AndyT. После окончания университета я сразу перешел в промышленность. После выпуска я и все, с кем я работал или с кем связан, никогда не использовали и никогда не использовали исчисление в нашей повседневной работе в качестве инженеров. Типы инженеров, с которыми я работал, включают: гражданских, механических, вентиляционных, горных, электрических и экологических.

В течение моей карьеры я использовал некоторую тригонометрию, алгебру и статистику, а также финансовую математику (NPV, IRR и т. Д.) Для оценки проектов, технико-экономических обоснований и иногда, когда мне приходилось писать или анализировать обоснования капитальных затрат.

Когда я появился в реальном мире, инженеры начали использовать рабочие настольные компьютеры. Моя ранняя карьера была смесью рисования на бумаге и использованием компьютеров. В конце концов доминировали компьютеры, и я в конечном итоге использовал программное обеспечение для компьютерного дизайна и электронные таблицы для своих инженерных и дизайнерских работ.

Между двумя третями и тремя четвертями всей математики, которую я изучал в университете, я никогда не использовал после того, как начал работать. С тех пор я понял, что большая часть математики, которую я должен был выучить, была упражнением в том, чтобы научить меня думать и решать проблемы. Математический блок, который я особенно счел бесполезным для моей карьеры, но должен был учиться, был собственным вектором. Я знаю, что некоторые инженеры считают собственные векторы незаменимыми. Это была одна единица, которую я был рад забыть после того, как сдал экзамен!

Инженерные курсы должны быть аккредитованы профессиональными инженерными обществами, следовательно, инженеры обязаны изучать много математики, на всякий случай, если это необходимо. Когда студенты начинают свои курсы, они не всегда знают, где они окажутся.

Инженеры-исследователи и те, кто связан с передовыми передовыми технологиями, используют больше математики и математических навыков, которым их учили.

Я помню, как подслушал разговор, который одна моя лекция имела с другим студентом, и он сказал, что единственный раз, когда он использовал исчисление, был в 1950-х годах, когда он участвовал в разработке определенных типов двигателей внутреннего сгорания.

Особенность инженера в промышленности заключается в том, что вскоре они становятся менеджерами - заботятся о людях, деньгах и идеях. Базовые знания исчисления полезны, но сейчас компьютеры делают все сложные вычисления за нас. Мы подключаем номер и интерпретируем результаты. Нам нужно знать, как работает программное обеспечение, чтобы убедиться, что оно не дает нам мусора. Это одна из причин, по которой студенты-инженеры должны изучать математику.

Я могу вспомнить посещение отраслевого семинара «Встреча студентов», когда я был студентом, и опытный инженер сказал всем, что в то время как в университете им нужно было использовать научные калькуляторы, но по мере продвижения по карьерной лестнице они будут использовать калькуляторы, в которых есть только сложение, вычитание. , умножение и деление ключей.

Немного предыстории (честное раскрытие). Я начал получать степень бакалавра / магистра в мех. из довольно практической / прикладной школы, прежде чем принять решение продолжить докторскую степень в более теоретической школе. В результате я не претендую на звание настоящего инженера (мой общий опыт заключается в том, что ученые, работающие в области инженерии, обычно являются посредственными инженерами), но у меня есть несколько мыслей, которые могут быть полезны.

В своем исследовании я обнаружил, что имею дело с ODE, PDE, линейной алгеброй (как прикладной, так и абстрактной) и тому подобными вещами. Иногда мне приходилось заново изучать математические понятия, которые я вообще забыл или никогда не изучал. Независимо от того, какая часть ваших студентов поступит в академические круги, с большей вероятностью будет регулярно использовать исчисление.

В более прикладных действиях, таких как консалтинговые проекты или создание гоночных автомобилей для завершения студента. Я нахожу гораздо меньше спроса на эти навыки, хотя иногда они полезны.

Во многих случаях исчисление более ценно для концепций, чем для реальных вычислений. Я хочу знать, что одна величина является интегралом другой, чтобы понять проблему, но это не значит, что я собираюсь сесть и интегрировать уравнение карандашом и бумагой. В частности, я думаю, что понимание основных идей дифференциальных уравнений может быть чрезвычайно полезным во многих дисциплинах (динамические системы, теплообмен, электроника ...).

Опыт, который вы описываете, не является необоснованным по нескольким причинам (не полный список):

• Многие практические проблемы могут быть решены аналитически с помощью высшей математики. Однако аналитическое решение, когда-то известное, сводит фактическое вычисление к простой арифметике. В некоторых случаях использовать данное решение не только проще, но и требуется. В случае различных кодексов и стандартов, инженер может подвергаться ответственности, если они отклоняются от предписанной процедуры расчета.

• Численные решения проблем становятся все более простыми и более широко применимыми, чем аналитические решения. Часто проще бросить числовой метод в интеграл, ODE, PDE, ряды ... чем пытаться запомнить / вывести решение. Сложная геометрия, нелинейное поведение и т. Д. Часто означают, что традиционные методы нецелесообразны или невозможны. И, с большим количеством современного программного обеспечения, математика совершенно невидима для пользователя. Я видел, как студенты 1-го курса с небольшим опытом быстро изучали инструменты для моделирования напряжений в сложных сценариях нагрузки и вычисления переходной теплопроводности с нелинейными граничными условиями (в основном математика не требуется).

• Там много эмпирических данных, которые идут в инженерии. В некоторых случаях эксперименты и опыт могут быть такими же хорошими или лучше математики. Я даже не мог рассчитать (исходя из первых принципов) коэффициент трения между двумя материалами, но я могу найти его в книге или измерить сам.

Это с точки зрения гражданского инженера.

Инженеры обычно не используют более высокий уровень математики, потому что спецификации кода написаны специально, чтобы избежать необходимости. Вы не хотите, чтобы здание или мост рухнули, потому что инженер неправильно воспринял интеграл. Везде, где возможно, сложная математика была сведена к упрощенному уравнению, диаграмме или графику. Это сделано для ограничения возможных источников ошибок.

Сложная математика сделана и проверена прежде, чем она будет помещена в коды. Таким образом, инженер, который использует код позже, не должен беспокоиться о его правильности. Обычно, просто ссылки на код достаточно, чтобы «доказать», что ответ правильный.

Инженерно-технические работы для общественности настолько контролируются кодами и спецификациями, что в некоторых областях практически не требуется математики. Ответ находится в таблице. Таблица, вероятно, была разработана с большим количеством математических данных и исследований университета, но таблица была разработана, чтобы исключить необходимость повторения стандартных расчетов для каждого проекта. Это касается даже сейсмического (землетрясения) проекта. Если дизайн не настолько особенный, чтобы создать полную компьютерную модель, все сложные взаимодействия между грунтом, структурой и близлежащими разломами сводятся к простой горизонтальной нагрузке, которая прикладывается через центр масс.

Строительные нормы и правила в отношении нагрузок требуют, чтобы факторы безопасности были несколько большими по сравнению с другими профессиями. Это означает, что упрощенный метод решения проблемы не сильно влияет на конечный результат по сравнению с точным математическим решением.

Большая часть ежедневных вычислений, которые выполняет инженер, использует одни и те же наборы формул с различными входными данными. Вот почему можно создавать огромные электронные таблицы Excel, чтобы выполнять большую часть работы.

Это не означает, что математика более высокого уровня и теории, которые ее поддерживают, не являются полезными. Все эти темы помогают тренировать ум инженера для визуализации того, что действительно происходит. Тема о численном моделировании говорит об этом.

В зависимости от того, как вы смотрите на это, ни один и все это.

Цикл выполнения чего-то сложного, изучения короткого пути, а затем перехода к более сложному материалу повторяется в колледже.

Например, как только я начал принимать алгебру, я перестал делать таблицы умножения. Уровень колледжа по математике такой же. После исчисления большинство инженеров принимают дифференциальные уравнения. В тот момент я действительно прекратил делать исчисление и стал полагаться на инструменты, чтобы сделать это для меня.

В контроле мы используем множество преобразований Лапласа для определения системы. Хотя я технически знаю всю теорию, лежащую в основе преобразования Лапласа, я не делал ничего вручную почти десять лет.

Поэтому, хотя я не «использовал» исчисление с 3–4-го года обучения в университете, все, чему я научился во время них, требовало основ исчисления.

Редактировать: аналогия. Это все равно, что спросить кого-то на 14-м этаже здания, сколько раз они используют 3-й этаж. Это может быть никогда, но без 3-го этажа не было бы и 14-го этажа.

Я согласен, как обсуждалось в нескольких других ответах, что большую часть времени инженеры не используют напрямую исчисление (или другую сложную математику) для выполнения своей повседневной работы. И в то же время понимание хорошего жизненно важно для хорошего инженера.

Я хотел бы добавить, однако, что понимание углубленной математики достаточно хорошо, чтобы эффективно ее использовать, может быть чрезвычайно полезным в нынешнюю эпоху, когда передовые математические инструменты легко доступны. Например, такая программа, как Mathcad, позволяет пользователю выполнять прямую интеграцию домена, а инженер, который понимает, как правильно использовать это, может создавать чрезвычайно эффективные, точные и быстрые инструменты для решения повседневных задач.

$S_p$

$\Delta e$$z$

$e_0$

$\sigma^{\prime}$$S_p$

Однако гораздо лучший и более простой способ сделать это - просто напрямую интегрировать с помощью такого инструмента, как Mathcad! Вместо того, чтобы разделить 15-футовый столбец почвы на 1-футовый прирост и выполнить один и тот же набор вычислений для каждого из 15 слоев, все, что мне нужно сделать (один раз), это:

1. $z$ $$u(z)=0$$
2. $z$ $$\sigma_0(z)=\gamma_{\text{soil}}z$$
3. $z$ $$\sigma^{\prime}_0(z)=\sigma_0(z)-u(z)$$
4. $z$ $$\Delta\sigma^{\prime}(z)=1000\text{ psf}$$
5. $z$ $$\Delta e(z)=C_c\log{\frac{\sigma^{\prime}_0(z)+\Delta \sigma^{\prime}(z)}{\sigma^{\prime}_0(z)}}$$

$z=H_{\text{layer}}$

Этот подход быстрее, точнее и проще, чем метод, изложенный в учебнике по механике грунтов или основам. Однако для его правильной реализации требуется умение понимать и применять базовое исчисление.

Существует множество других примеров (например, структурный анализ балки при изгибе, поток грунтовых вод, анализ объемного потока гидрографа водораздела и т. Д. И т. Д.), В которых прямая интеграция будет превосходить подход, обычно используемый при наличии подходящего инструмента. ,

Инженер-электронщик, который нашел математику самой сложной частью своей степени.

Мне довольно обычно приходится использовать сложные числа и манипулировать ими при выполнении радиочастотного проектирования, схемотехнического моделирования и проектирования. Они также были полезны при моделировании распространения ультразвука. Мне часто хотелось, чтобы Excel обрабатывал комплексные числа как встроенный тип.

Понимание ODE имеет жизненно важное значение при разработке систем управления и обратной связи.

Понимание концепций рядов Фурье, Лапласа и Z-преобразований и свертки было необходимо.

Для меня было важно знать, что такое математика, и уметь обращаться к математику за помощью, когда это необходимо. Математики, с которыми я консультировался, неизменно были рады помочь с практическими проблемами.

Как ученый в области вычислительной техники, я тесно сотрудничаю с инженерами, разрабатывающими программные средства, которые они используют для решения различных технических задач. Моя работа в значительной степени основана на уравнениях в частных производных и численном анализе, для которого интегралы, производные, ряды Тейлора, пределы, теорема Грина, оптимизация, скорость изменения и т. Д. - все это основные инструменты, которые я использую каждый день своей жизни.

По моему мнению, профессиональные инженеры являются пользователями инструмента, а я считаю себя создателем инструмента. Инженер, безусловно, может использовать инструмент, не зная много о тонкостях его изготовления ... Но чтобы выбрать правильный инструмент для текущей работы, вы должны понимать более широкий выбор инструментов на выбор и их преимущества / недостатки , Единственный способ понять преимущества одного числового инструмента перед другим, вы должны понять строительные блоки этого инструмента. Для этого исчисление абсолютно необходимо.

Я приведу пример исчисления, которое я использовал сегодня как инженер-программист.

Мы оценивали вычислительное время выполнения операции на каждой из множества групп элементов. Время, необходимое для отдельной группы, пропорционально размеру квадрата группы.

Мы не уверены в распределении размеров групп, но в зависимости от различных алгоритмов, которые мы могли бы использовать, мы могли бы смоделировать их как нормально распределенные, степенно распределенные, экспоненциально распределенные и т. Д., А также влиять на параметры этих соответствующих распределений.

$X^2$$X$ выбирается из некоторого распределения, требует базовых знаний по исчислению :)

В общем, такие вещи время от времени появляются. Я не знаю, что я когда-либо использовал это явно с точки зрения написания программного обеспечения, которое выполняет вычисления, связанные с исчислением, и при этом я не использовал это как авторитетный инструмент принятия решения. Обычно остается «попробовать несколько вещей и посмотреть, что работает лучше», но это определенно полезно для базового мозгового штурма или оценки. В этом случае это позволит нам теоретизировать о том, какой тип дистрибуции, как мы надеемся, будет работать лучше всего, и сосредоточить наши усилия на поиске такого пути. Я, конечно, могу сказать, что очень базовые основы исчисления полезны для понимания динамики некоторых программных систем. Четыре семестра, вероятно, излишни.

У меня есть степень бакалавра в области компьютерной техники. Я все еще в начале своей карьеры (в настоящее время в основном это программное обеспечение, но я пытаюсь больше заниматься аппаратным аспектом), но вот мой опыт:

Мне было интересно, какое исчисление вы используете настоящие инженеры?

Единственной наиболее часто используемой темой для меня как в школе, так и за ее пределами было преобразование Фурье. Он снова и снова появлялся на моих уроках по электротехнике, и сейчас я работаю в области телекоммуникаций, где он встречается в различных формах относительно часто.

Тем не менее, это концепции и фон, и понимание физической реальности с помощью уравнений, которые помогли мне больше всего, а не фактические числа и расчеты (которые я очень редко видел вне школы). Знание того, как слепо следовать правилам и выполнять вычисления, может помочь преуспеть в школе (в зависимости от профессора), но по моему опыту более важно иметь концептуальное понимание и общее представление о поведении цепей, чем уметь вычислять точный числовой ответ. На работе мы получили бы быстрый ответ - подключили числа в симулятор. Но если у вас есть концептуальное понимание, вы будете знать, чего ожидать, и заметите, когда что-то не так.

Из моего опыта я бы сказал, что самое важное - это хорошо понять, как уравнения описывают физическую систему, и уметь переводить туда-сюда. То есть, пусть уравнения улучшат ваше понимание физической системы.

Может быть, вы ничего из этого не используете, но это улучшает ваши математические рассуждения, что положительно влияет на ваши инженерные навыки?

Да! Способность описать физическую систему в математических терминах, а затем понять и предсказать ее поведение - это навык, который я приобрел в школе, и я считаю, что это очень важно для любого инженера.

Это написано с точки зрения человека, получающего докторскую степень в области машиностроения. Мой математический фон несколько сравним (но определенно уступает) со степенью аспирантов в прикладной математической программе.

Как указали другие, ответ на этот вопрос в значительной степени зависит от работы конкретного инженера. Во многих случаях продвинутая математика действительно бесполезна. Инженер-строитель упомянул кодовую работу в качестве примера .

Как аспирант, работающий в области вычислительной гидродинамики, мне нужно достаточно твердое понимание всего через PDE. Математика - это инструмент, который я использую для решения задач, точно так же, как экспериментатор может считать термометр инструментом. Я разрабатываю математические модели (обычно решаемые компьютерами) для использования мной и другими инженерами.

Темы, включенные в мое математическое образование, которые я считаю полезными в своей работе:

• интегральное, дифференциальное и векторное исчисление (в основном все это, хотя я признаю, что я использовал множители Лагранжа только один или два раза после старшекурсника)

• вероятность и статистика (класс, который я имел, был довольно тупой, однако)

• дифференциальные уравнения (как простые, так и частные)

Я также прошел курс комплексного анализа для студентов, который мне показался увлекательным, хотя я должен признать, что с тех пор почти ничего не использовал. Некоторые из курсов по математике для аспирантов, которые я взял и нашел полезными, включают в себя асимптотический анализ, теоретико-меру вероятности (не столько для теории меры напрямую, но для более тщательного размышления) и числовые уравнения в частных производных.

Однако мой фон дифференциальных уравнений был довольно недостаточным. Основной класс ODE должен быть трудным для преподавания, потому что (примерно) 75% учеников там не должны много знать об ODE, а остальные 25% должны хорошо знать предмет. (Я мог бы написать намного больше на эту тему, в частности, какие области, я думаю, были недостаточными.)

Я хочу немного коснуться этой темы. Есть большое количество инженеров, которые считают, что продвинутая математика более бесполезна для них, чем она есть на самом деле, и они часто об этом говорят. Некоторые инженеры, кажется, стараются изо всех сил избегать использования какой-либо математики ^[1] , даже если это будет полезно. Одна компания, которая пыталась нанять людей из моей исследовательской группы хвасталасьчто они не делают никакой математики, как будто это соблазнит нас. Если честно, они стали шуткой изнутри. Большая часть их работы основана на коде, и хотя коды имеют тенденцию быть консервативными, они не всегда являются правильными или полезными в каждом случае. Когда кто-то должен сделать «инженерное суждение», я надеюсь, что суждение основано на доказательной математической модели, а не на спекуляции. (Я не уверен, почему существует такое мнение о полезности продвинутой математики, но я думаю, что оно частично объясняется сложностью математики и невежеством.)

Инженеры, которые не используют продвинутую математику, должны, по крайней мере, знать о потенциальных ошибках слепого использования инженерного программного обеспечения на основе продвинутой математики. Многие инженеры доверяют программному обеспечению так, как будто его результат безошибочен. Меня финансирует государственное агентство, которое производит программное обеспечение для моделирования (и я помогаю в разработке программного обеспечения), и я вспоминаю, как один из их инженеров был сильно раздражен пользователями, которые утверждают, что открыли новую физику: температуры выше, чем температура адиабатического пламени (самая высокая температура возможна при сгорании по первому закону). На самом деле произошло то, что программное обеспечение для моделирования не использовало TVD«Схема, и разработчики предположили (возможно, неявно), что люди, использующие программное обеспечение, распознают, когда что-то пойдет не так, и добавят дополнительное разрешение. У меня сложилось впечатление, что они не хотели делать программное обеспечение устойчивым к ошибкам, потому что оно сильно замедляло бы работу, но по-видимому, эта проблема возникла так много раз, что они добавили надежный алгоритм.

Это не значит, что продвинутая математика всегда необходима. Хотя некоторые инженеры могут посчитать забавным переусердствовать с математической утонченностью, если нет необходимости решать проблему, возможно, это пустая трата времени.

_{[1] Кстати, то же самое относится и к программированию. Для класса, преподаваемого моим советником по MS, он специально разработал задание, которое «невозможно» решить в Excel, потому что оно много раз требовало решения больших линейных систем уравнений. Безусловно, самый простой способ сделать это - написать несколько десятков строк кода. Он требовал, чтобы люди использовали свой код для получения кредита. Он все еще получил таблицы! Очевидно, вы можете сделать это в Excel, но вам нужно было ввести матрицу вручную! Конечно, не легко и не весело, когда вам нужна матрица 500x500.}

Если мы должны ответить на этот вопрос очень кратко, я бы сказал:

(1) Инженеры используют коды, а применяемый код не требует исчисления, а только вычислений и программного обеспечения.

(2) Большинство инженеров используют коды, написанные другими на протяжении всей своей жизни.

(3) Лучшие пишут и модифицируют коды и программное обеспечение, они используют математику. Они упрощают сложные задачи для других, помещают их в таблицы, программное обеспечение и арифметические формулы.

Все ответы, как правило, дают обоснованные оценки, но я думаю, что они упускают реальную причину, по которой инженеры выбирают стандартную двухгодичную учебную программу по математике: эффективность изучения оставшейся части своей курсовой работы. Люди, которые разработали первоначальные учебные планы, не были заинтересованы в создании фонда «гуманитарных наук», в котором исчисление использовалось бы для вашего ума и т. Д. Они хотели обучать инженеров, просто и понятно.

Но чтобы обучать инженеров, вам нужно преподавать им такие предметы, как механика, жидкости, волны и т. Д. Чтобы эффективно изучать эти разные темы, вам нужны исчисление и линейная алгебра. Конечно, вы можете заменить аргумент исчисления, придумав какой-нибудь очень умный, элементарный аргумент, но гораздо лучше дать ОДИН аргумент через исчисление, которое охватывает множество случаев. То же самое относится и к линейной алгебре. Например, понятие о том, является ли пустое пространство линейной системы тривиальным или нет, довольно хорошо связано с аналогичным понятием в линейных ОДУ.

Можно целый день спорить о том, делает ли обучение таким способом лучшего инженера или нет, но всем, кому его учат, ясно одно: это очень эффективный способ обучения инженеров. И то, насколько хорошо человек понимает преподаваемую математику, напрямую влияет на то, насколько хорошо он понимает остальную часть инженерной программы.

Когда я проходил курсы в качестве «специального студента» в университете Карнеги-Меллона в Питтсбурге (в середине 1970-х годов), «инженерная математика» состояла из линейной алгебры, обыкновенных и дифференциальных уравнений в частных производных и «специальных тем», таких как степенные ряды и решения ряда Фурье, а также преобразования Лапласа. Это «тяжелая» инженерная школа, и у многих будут программы, которые «легче».