Комплексные импедансы

Что значит иметь сложное сопротивление?

Например, полное сопротивление конденсатора (в области Лапласа?) Дается 1 / с (я полагаю), что равно $\dfrac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot f \cdot C}$ где переходные процессы игнорируются. Что значит для импеданса быть воображаемым?

В настоящее время я учусь на втором курсе электротехники в университете, поэтому, если это возможно, я был бы признателен за математически обоснованный и обстоятельный ответ, если это не слишком много проблем, с идеальной ссылкой на учебный материал (веб- и бумажные ресурсы).

Заранее спасибо.

TL; DR Воображаемая часть импеданса говорит вам о реактивной составляющей импеданса; это отвечает (среди прочего) за разницу в фазе между током и напряжением и реактивной мощностью, используемой цепью.

Основополагающий принцип заключается в том, что любой периодический сигнал может рассматриваться как сумма (иногда) бесконечных синусоид, называемых гармониками, с одинаково разнесенными частотами. Каждый из них может рассматриваться как отдельный сигнал.

Для этих сигналов вы используете представление, подобное следующему:

И вы можете видеть, что мы уже перешли в область комплексных чисел, потому что вы можете использовать комплексную экспоненту для представления вращения.

Таким образом, импеданс может быть активным (сопротивление) или реактивным (реактивное сопротивление); в то время как первый по определению не влияет на фазу сигналов ( ), реактивное сопротивление, поэтому использование комплексных чисел позволяет оценить изменение фазы, которое вносится реактивным сопротивлением.$\phi$

Таким образом, вы получите:

где | Z | Величина импеданса, определяемая как:

и тета - фаза, введенная импедансом, и определяется как:

Применительно к предыдущей функции оно становится:

Давайте рассмотрим идеальный конденсатор: его сопротивление будет которая является мнимой и отрицательной; если вы поместите его в тригонометрическую окружность, вы получите фазу -90 °, что означает, что при чисто емкостной нагрузке напряжение будет на 90 ° ниже тока.$\frac{1}{j \omega C} = -\frac{j}{\omega C}$

Так почему же?

Допустим, вы хотите сложить два импеданса, 100 Ом и 50 + 50 Ом (или, без комплексных чисел, ). Затем с помощью комплексных чисел вы суммируете действительную и мнимую части и получаете 150 + 50 Ом.$70.7 \angle 45 ^\circ$

Без использования комплексных чисел все становится намного сложнее, так как вы можете либо использовать косинусы и синусы (но это то же самое, что и комплексные числа), либо попасть в беспорядок величин и фаз. Тебе решать :).

теория

Некоторые дополнительные понятия, пытающиеся ответить на ваши вопросы:

• Гармоническое представление сигналов обычно решается разложением в ряд Фурье :

• Комплексная экспонента связана с косинусом также по формуле Эйлера :

Я уверен, что это не полностью ответит на ваш вопрос, на самом деле я надеюсь, что это дополнит уже приведенные ответы, которые, кажется, пренебрегают: концепция, лежащая в основе использования комплексных чисел (которые, как уже говорилось, являются просто причудливым именем для математического «количества», если хотите).

Первый главный вопрос, на который мы должны ответить: почему комплексные числа? И чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно понять необходимость различных наборов чисел, от натуральных до действительных чисел.

С ранних веков натуральные числа позволяли людям считать, например, яблоки и апельсины на рынке. Затем были введены целые числа для решения концепции «в долгах» с помощью отрицательных чисел (это было непросто понять в то время). Теперь все становится более интересным с рациональными числами и необходимостью представлять «количества» дробями. Интересным в этих числах является то, что нам нужно два целых числа, а не только одно (как с натуральными и целыми числами), например 3/8. Этот способ представления «количеств» очень полезен, например, для описания количества кусочков (3), оставшихся в пироге из 8 кусочков, когда 5 уже съедено :) (вы не можете сделать это с целым числом!).

Теперь давайте прыгнем иррациональные и действительные числа и перейдем к комплексным числам. Инженеры-электронщики столкнулись с проблемой описания и работы с другим типом «величины», синусоидальным напряжением (и током) в линейной цепи (то есть состоящей из резисторов, конденсаторов и индукторов). Угадайте, что они обнаружили, что комплексные числа были решением.

$\omega$$\phi$

$\omega$ ) не будет изменяться от узла к узлу, то есть независимо от того, какую точку в контуре вы исследуете, вы будете видеть только различия с точки зрения амплитуды и фазы, а не частоты , Затем они пришли к выводу, что интересной (изменяющейся) частью синусоидального напряжения (или тока) являются его амплитуда и фаза. Таким образом, так же, как мы делаем с рациональными числами, нам нужны два числа, чтобы представить переменное синусоидальное напряжение в узле линейной цепи, в данном случае (A, фи). На самом деле они поняли, что алгебра комплексных чисел, то есть то, как вы действуете и соотносите эти числа друг с другом, подходит как перчатка с тем, как синусоиды управляются линейными цепями.

$\frac{1}{j \omega C}$

ОБНОВИТЬ

Есть также некоторые заметки, которые я настоятельно рекомендую прочитать, «Введение в комплексный анализ для инженеров» Майкла Д. Алдера. Это очень дружелюбный подход к предмету. В частности, я рекомендую первую главу.

Использование комплексных чисел является математическим способом представления как фазовых, так и противофазных компонентов - тока по отношению к напряжению. Мнимый импеданс не означает, что импеданс не существует, это означает, что ток и напряжение не совпадают по фазе друг с другом. Точно так же реальный импеданс не означает реальный в повседневном смысле, просто то, что ток находится в фазе с напряжением.

1. Описания ниже SEEK для демифологизации того, что подразумевается под «сложными» величинами в контексте RCL. Понятия «мнимых» компонентов представляют собой полезную метафору, которая стремится ослепить людей к простым базовым реальностям. Текст, приведенный ниже, говорит в терминах КР и не затрагивает тайны ЛНР, которые на самом деле не являются более таинственными в реальности.

2. Для вас было бы гораздо полезнее сделать все возможное, чтобы ответить на большинство вопросов, поднятых вами, используя либо учебник, либо поисковик в Интернете, прежде чем искать объяснения у других, ПОТОМУ ЧТО этот вопрос настолько фундаментален для основ цепей переменного тока с реактивным составные части. Работа со сложными вопросами устанавливает приоритет в том, как вы будете иметь дело с подобными вещами на протяжении всего вашего образования, и в Интернете, вероятно, есть миллионы страниц, посвященных этой теме (Горгулья говорит, что ~ = 11 миллионов, но кто может сказать?). Степень детализации и тщательности, которую вы запрашиваете, нереальна для сайта, подобного этому, учитывая огромное количество деталей "там". (Если владельцы сайта не пытаются воспроизвести подмножество Википедии).

Итак, я думаю, что помочь вам разобраться с основами - это хорошая идея, чтобы вы могли взять ее и оттуда поработать. Так ...

Если вы подключите входную клемму к последовательному резистору к конденсатору, а другой конденсатор «заземлен», вы получите последовательную RC-цепь:
Vin - резистор - конденсатор - земля.

Если вы теперь подадите ступенчатое напряжение на вход, ток конденсатора будет соответствовать, но конденсатор начнет заряжаться, используя это напряжение для создания тока в резисторе. Увеличение напряжения будет экспоненциальным, поскольку ток, протекающий в конденсатор, будет установлен как Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries. то есть, когда Vcap возрастает, потенциал на резисторе падает и ток уменьшается. Теоретически Vcap потребуется бесконечное время, чтобы достичь Vin, но на практике это более или менее примерно в 3 постоянных времени, где
t = RC = время, необходимое для падения Iin до 1 / e-го от его первоначального значения. Что и почему из 1 / е термина вы уже знаете или будете делать после прочтения ссылок.

ТЕПЕРЬ, если мы подадим прямоугольный сигнал, конденсатор будет заряжаться, как указано выше, когда вход положительный, и будет разряжаться аналогичным образом, когда вход заземлен или отрицателен. В то время как ток конденсатора будет следовать за Vin и будет максимальным, когда Vin переходит на высокий / низкий или низкий высокий уровень, напряжение конденсатора по причинам, описанным выше, будет отставать от входного напряжения. Как только будет достигнуто устойчивое состояние, если вы построите график Vcap и I cap, вы обнаружите, что две осциллограммы смещены почти на 90 градусов или почти на почти градус, где один полный цикл ввода = 360 градусов. Насколько напряжение конденсатора отстает от его тока, зависит от входной частоты и постоянной времени RC.

Для непосвященных это может выглядеть как волшебство (или использование тиотимолина *), с формой волны тока, происходящей за 1/4 цикла до его напряжения, НО это только потому, что логическая причина этого, как объяснено выше, не обязательно интуитивно понятный при осмотре.

Если вы начинаете комбинировать конденсаторы, резисторы и катушки индуктивности различными способами, вам необходимо математически справляться с относительными фазами различных сигналов. [При первом знакомстве может показаться, что вектор настроен на оглушение].

Некоторая грамотная разработка или скрытый взгляд на некоторые из примерно 10 миллионов веб-страниц по этому вопросу укажут, что если у вас есть две формы волны, которые изменяются по фазовому отношению друг к другу и которые основаны на взаимных показательных отношениях, то каждый сигнал может быть представлен полярным представлением формы [R, Theta], которое в терминах может быть представлено как комплексное число, которое имеет компоненты X и Y, которые отражают полярную форму.

«Вектор» Полярный, который представляет собой напряжение и ток отношения в данной ситуации использует вращающийся вектор рука «метафора» дает длину руки и фазового угла относительно эталона. Эту «метафору» можно заменить компонентом X и Y, где величина полярной формы задается как R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2), а угол тета определяется как tan ^ -1 (X / Y ) Это можно увидеть в схематической форме ниже.

Отсюда

ВНИМАНИЕ - не обманывайтесь терминологией.

Обратите внимание, что термин «комплексное число» - это просто жаргон. Использование sqrt (-1) является полезной частью метафоры, которая позволяет арифметике работать, НО фактические величины являются полностью действительными и «обычными». Когда используются реактивные элементы, такие как катушки индуктивности и конденсаторы, мощность больше не будет просто произведением величин в векторах напряжения и тока. т.е. сила от В. син (Фред) х И. Син (Жозепин) не (обычно) = VI. Это не подразумевает ничего особенного, магического, сложного или воображаемого в отношении задействованных переменных, просто они изменяются во времени, и их пиковые величины обычно не совпадают.

Дополнительное чтение - настоятельно рекомендуется:

Электрический импеданс

RC схема

Схема LC

Комплексный калькулятор импеданса

• Я Азимов.

Выражение емкости и индуктивности в качестве мнимых сопротивлений имеет то преимущество, что вы можете использовать хорошо известные методы решения линейных задач с резисторами для решения линейных задач с резисторами, конденсаторами и индукторами.

Такие линейные задачи и их хорошо известные методы, например,

1. Проблема: вычисление сопротивления двух последовательных резисторов
   Метод: R = R1 + R2
   также может использоваться для расчета полного сопротивления резистора / конденсатора / индуктора последовательно с другим резистором / конденсатором / индуктором

2. Проблема: вычисление сопротивления двух резисторов параллельно.
   Метод: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
   также может быть использован для расчета сопротивления резистора / конденсатора / индуктора параллельно с другим резистором / конденсатором / индуктором.

3. Проблема: решение сети, содержащей резисторы, источники постоянного напряжения и тока постоянного тока.
   Метод: решение системы одновременных линейных уравнений
   может также использоваться для решения сети, содержащей резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, источники переменного или постоянного напряжения и источники переменного или постоянного тока.

4. и т.п.

Все эти формулы / методы, которые работают с реальными значениями сопротивления (только резисторы) и источниками постоянного тока, работают так же хорошо с комплексными значениями (резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы) и источниками переменного тока.

Хотя не обязательно существует какая-либо интуитивная причина, по которой использование комплексных чисел для представления комбинации синфазных и противофазных сигналов должно быть полезным, оказывается, что арифметические правила для комплексных чисел очень хорошо соответствуют реальному поведению и взаимодействие резисторов, конденсаторов и индукторов.

Комплексное число представляет собой сумму двух частей: действительной части и «мнимой» части, которая может быть представлена ​​действительным числом, умноженным на i , который определен как квадратный корень из -1. Комплексное число может быть записано в форме A + Bi , причем как A, так и B являются действительными числами. Затем можно использовать правила полиномиальной арифметики, чтобы воздействовать на комплексные числа, рассматривая i как переменную, но можно также заменить i² на -1 (так, например, произведение Pi × Qi равно -P × Q).

На любой конкретной частоте можно определить, как будет вести себя сеть резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, рассчитав эффективное сопротивление каждого элемента, а затем используя закон Ома для вычисления эффективного сопротивления последовательных и параллельных комбинаций, а также напряжения и тока через их. Кроме того, поскольку резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности являются линейными устройствами, можно вычислить, как будет вести себя сеть, когда вводятся комбинации частот, вычисляя, что они будут делать с каждой конкретной частотой, а затем суммируя результаты. Сложная арифметика может быть очень полезна при попытке проанализировать поведение таких вещей, как фильтры, поскольку она позволяет вычислять выходные данные фильтра как функцию от входных данных. Подача входного сигнала некоторого действительного числа vвольт на некоторой частоте f , можно вычислить напряжение или ток в любом конкретном узле; реальная часть будет в фазе с введенной формой волны, а мнимая часть будет сдвинута по фазе на 90 градусов. Вместо того чтобы использовать причудливые дифференциальные уравнения для решения поведения схемы, можно использовать сравнительно простую арифметику с комплексными числами.

Комплексные числа используются в электротехнике для величин, которые имеют величину и фазу. Электрический импеданс - это отношение тока к напряжению. Для переменного тока и напряжения формы сигналов тока и напряжения могут быть не в фазе; фаза импеданса говорит вам об этой разности фаз.