Почему интеграл равен нулю

Интересно, почему в предположении, что то ?$\omega \gg \frac{1}{T}$$\int_{0}^{T} \sin(\omega t)dt \approx 0$

Поскольку интеграл должен быть похож на $\frac{\cos(\omega t)}{w}$ от $0$ до $T$ и после добавления значения мы получим:

Если вы говорите о телекоммуникациях, я предполагаю, что мы говорим о высоких частотах. Если это так:

• $\frac{1}{T} = f$
• $\omega \gg \frac{1}{T}$

0 + 2 $−\cos(\omega T)+1$ варьируется от до , если вы разделите это на большое число, вы получите примерно ноль. Чтобы дать вам представление: для частоты около (которая считается "сверхнизкой" ), результат будет В МАКСИМАЛЬНОМ .$0$$+2$
$1\;\text{kHz}$$0.002$

Увеличивая частоту, мы помещаем больше периодов колебаний в интервал интегрирования.

Поскольку интеграл синуса по одному периоду равен нулю, мы должны рассматривать только «неполный» период в конце интервала интегрирования.

Когда мы увеличиваем частоту, область этого незавершенного периода становится все тоньше и тоньше (что объясняет в определителе).$\omega$

Если я подключу некоторые значения, я получу следующее:

$T = 1$

$\omega \rightarrow$ результат

$10^0 \rightarrow 0.460$

$10^1 \rightarrow 0.184$

$10^2 \rightarrow 0.001$

$10^3 \rightarrow 4.376E-04$

$10^4 \rightarrow 1.952E-04$

$10^5 \rightarrow 1.999E-05$

$10^6 \rightarrow 6.325E-08$

Теперь я не уверен, какой порядок величины означает и насколько мал должен быть результат, который должен рассматриваться как , но он стремится к нулю, если он намного больше.≈ $>>$$\approx 0$

Какие типичные значения для и T вы смотрите?$\omega$

Обновление (из-за комментариев):

Как хорошо объяснил FMarazzi, для случая, когда равен -1, есть верхняя граница , поэтому у вас будет , то есть абсолютный максимум, который вы когда-либо получите для любого Т.$\cos(\omega T)$$\frac{2}{\omega}$

Поэтому, если вы выберете значение для T, вы получите максимум для данного значения в котором таблица превратится в:$\omega$

$\omega \rightarrow$ максимально возможное значение

$10^0 \rightarrow 2$

$10^1 \rightarrow 0.2$

$10^2 \rightarrow 0.02$

$10^3 \rightarrow 2E-03$

$10^4 \rightarrow 2E-04$

$10^5 \rightarrow 2E-05$

$10^6 \rightarrow 2E-06$

И так далее. Я не знаю, в каком контексте используется аппроксимация, но, как отмечается в комментариях, это относится к системам связи, и я предполагаю, что речь идет не о некотором UART на скорости 9600 бод, а о чем-то вроде Ethernet или более быстрых вещах, поэтому имеет порядок или выше, для которого результат интеграла становится небольшим и, вероятно, не способствует другим условиям интереса.10 $\omega$$10^7$

В написанном уравнении большее значение в среднем приведет к меньшему значению интеграла, но большее значение не даст.$\omega$$T$

Я подозреваю, что нужно больше контекста, чтобы правильно понять, что имеется в виду.

В частности, нам нужно подумать о том, что именно мы подразумеваем под « ». « », вероятно, следует понимать как «пренебрежимо малый», но то, что означает «пренебрежимо малый», сильно зависит от контекста. Если есть некоторое связанное значение, которое увеличивается с увеличением значений то может оказаться, что результат интеграла, когда большое велико, но мало, все же можно считать пренебрежимо малым.≈ 0 T T $\approx 0$$\approx 0$$T$$T$$\omega$