Что такое активация GELU?

Я просматривал статью BERT, в которой используется GELU (линейная единица гауссовой ошибки), в которой уравнение имеет вид что, в свою очередь, приближается к

$$GELU(x) = xP(X ≤ x) = xΦ(x).$$ $$0.5x(1 + tanh[\sqrt{ 2/π}(x + 0.044715x^3)])$$

Не могли бы вы упростить уравнение и объяснить, как оно было аппроксимировано.

Функция GELU

Мы можем расширить совокупное распределение$\mathcal{N}(0, 1)$ , то есть , следующим образом: $\Phi(x)$

$$\text{GELU}(x):=x{\Bbb P}(X \le x)=x\Phi(x)=0.5x\left(1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)$$

Обратите внимание, что это определение , а не уравнение (или отношение). Авторы предоставили некоторые обоснования для этого предложения, например, стохастическая аналогия , однако математически это всего лишь определение.

Вот сюжет GELU:

Приближение Тан

Для числовых аппроксимаций такого типа ключевая идея состоит в том, чтобы найти аналогичную функцию (в первую очередь основанную на опыте), параметризовать ее, а затем подогнать ее к набору точек из исходной функции.

Зная, что очень близок к$\text{erf}(x)$$\text{tanh}(x)$

и первая производная от совпадает с производной от в , то есть , мы приступаем к подгонке (или с большим количеством терминов) на набор точек .$\text{erf}(\frac{x}{\sqrt{2}})$$\text{tanh}(\sqrt{\frac{2}{\pi}}x)$$x=0$$\sqrt{\frac{2}{\pi}}$

$$\text{tanh}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}(x+ax^2+bx^3+cx^4+dx^5)\right)$$ $\left(x_i, \text{erf}\left(\frac{x_i}{\sqrt{2}}\right)\right)$

Я установил эту функцию для 20 выборок между ( используя этот сайт ), и вот коэффициенты:$(-1.5, 1.5)$

Установив$a=c=d=0$ , $b$ , по оценкам, $0.04495641$ . При большем количестве образцов из более широкого диапазона (на этом сайте разрешено только 20) коэффициент $b$ будет ближе к $0.044715$ на бумаге . Наконец мы получаем

$\text{GELU}(x)=x\Phi(x)=0.5x\left(1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)\simeq 0.5x\left(1+\text{tanh}\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}(x+0.044715x^3)\right)\right)$

со среднеквадратической ошибкой $\sim 10^{-8}$ для $x \in [-10, 10]$ .

Обратите внимание, что если мы не использовали связь между первыми производными, термин $\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ было бы включено в параметры следующим образом:

$$0.5x\left(1+\text{tanh}\left(0.797885x+0.035677x^3\right)\right)$$ что является менее красивым (менее аналитическим, более численным)!

Используя паритет

Как предлагает @BookYourLuck , мы можем использовать четность функций, чтобы ограничить пространство полиномов, в которых мы ищем. То есть, поскольку $\text{erf}$ является нечетной функцией, т.е. $f(-x)=-f(x)$ , а $\text{tanh}$ также является нечетной функцией, полиномиальная функция $\text{pol}(x)$ внутри $\text{tanh}$ также должна быть нечетной (должна иметь только нечетные степени $x$ ) иметь

$$\text{erf}(-x)\simeq\text{tanh}(\text{pol}(-x))=\text{tanh}(-\text{pol}(x))=-\text{tanh}(\text{pol}(x))\simeq-\text{erf}(x)$$

Ранее нам посчастливилось получить (почти) нулевые коэффициенты для четных степеней $x^2$ и $x^4$ , однако в целом это может привести к низкокачественным приближениям, которые, например, имеют член типа $0.23x^2$ , который отменяется на дополнительные условия (четные или нечетные) вместо простого выбора $0x^2$ .

Сигмовидное приближение

Аналогичное соотношение имеет место между $\text{erf}(x)$ и $2\left(\sigma(x)-\frac{1}{2}\right)$(сигмоид), который предлагается в статье в качестве другого приближения, со среднеквадратической ошибкой$\sim 10^{-4}$для$x \in [-10, 10]$.

Вот код Python для генерации точек данных, подбора функций и вычисления среднеквадратичных ошибок:

import math
import numpy as np
import scipy.optimize as optimize


def tahn(xs, a):
    return [math.tanh(math.sqrt(2 / math.pi) * (x + a * x**3)) for x in xs]


def sigmoid(xs, a):
    return [2 * (1 / (1 + math.exp(-a * x)) - 0.5) for x in xs]


print_points = 0
np.random.seed(123)
# xs = [-2, -1, -.9, -.7, 0.6, -.5, -.4, -.3, -0.2, -.1, 0,
#       .1, 0.2, .3, .4, .5, 0.6, .7, .9, 2]
# xs = np.concatenate((np.arange(-1, 1, 0.2), np.arange(-4, 4, 0.8)))
# xs = np.concatenate((np.arange(-2, 2, 0.5), np.arange(-8, 8, 1.6)))
xs = np.arange(-10, 10, 0.001)
erfs = np.array([math.erf(x/math.sqrt(2)) for x in xs])
ys = np.array([0.5 * x * (1 + math.erf(x/math.sqrt(2))) for x in xs])

# Fit tanh and sigmoid curves to erf points
tanh_popt, _ = optimize.curve_fit(tahn, xs, erfs)
print('Tanh fit: a=%5.5f' % tuple(tanh_popt))

sig_popt, _ = optimize.curve_fit(sigmoid, xs, erfs)
print('Sigmoid fit: a=%5.5f' % tuple(sig_popt))

# curves used in https://mycurvefit.com:
# 1. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5))
# 2. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3))
y_paper_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + 0.044715 * x**3))) for x in xs])
tanh_error_paper = (np.square(ys - y_paper_tanh)).mean()
y_alt_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + tanh_popt[0] * x**3))) for x in xs])
tanh_error_alt = (np.square(ys - y_alt_tanh)).mean()

# curve used in https://mycurvefit.com:
# 1. 2*(1/(1+2.718281828459^(-(a*x))) - 0.5)
y_paper_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-1.702 * x))) for x in xs])
sigmoid_error_paper = (np.square(ys - y_paper_sigmoid)).mean()
y_alt_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-sig_popt[0] * x))) for x in xs])
sigmoid_error_alt = (np.square(ys - y_alt_sigmoid)).mean()

print('Paper tanh error:', tanh_error_paper)
print('Alternative tanh error:', tanh_error_alt)
print('Paper sigmoid error:', sigmoid_error_paper)
print('Alternative sigmoid error:', sigmoid_error_alt)

if print_points == 1:
    print(len(xs))
    for x, erf in zip(xs, erfs):
        print(x, erf)

Выход:

Tanh fit: a=0.04485
Sigmoid fit: a=1.70099
Paper tanh error: 2.4329173471294176e-08
Alternative tanh error: 2.698034519269613e-08
Paper sigmoid error: 5.6479106346814546e-05
Alternative sigmoid error: 5.704246564663601e-05

$$\Phi(x) = \frac12 \mathrm{erfc}\left(-\frac{x}{\sqrt{2}}\right) = \frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)\right)$$ $\mathrm{erf}$ $$\mathrm{erf}\left(\frac x {\sqrt2}\right) \approx \tanh\left(\sqrt{\frac2\pi} \left(x + a x^3\right)\right)$$ for $a \approx 0.044715$.

For large values of $x$, both functions are bounded in $[-1, 1]$. For small $x$, the respective Taylor series read

$$\tanh(x) = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$$ and $$\mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x - \frac{x^3}{3}\right) + o(x^3).$$ Substituting, we get that $$\tanh\left(\sqrt{\frac2\pi} \left(x + a x^3\right)\right) = \sqrt\frac{2}{\pi} \left(x + \left(a-\frac{2}{3\pi}\right)x^3\right) + o(x^3)$$ and $$\mathrm{erf}\left(\frac x {\sqrt2}\right) = \sqrt\frac2\pi \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + o(x^3).$$ Equating coefficient for $x^3$, we find $$a \approx 0.04553992412$$ close to the paper's $0.044715$.