Линейная регрессия с несимметричной функцией стоимости?

Я хочу предсказать некоторое значение и я пытаюсь получить некоторое предсказание которое оптимизирует между минимально возможным, но все же большим, чем . Другими словами: У ( х ) У ( х ) стоимость { Y ( х ) ≳ Y ( х ) } > > Стоимость { Y ( х ) ≳ Y ( х ) $Y(x)$$\hat Y(x)$$Y(x)$

Я думаю, что простая линейная регрессия должна работать совершенно нормально. Так что я немного знаю, как реализовать это вручную, но, думаю, я не первый, кто сталкивается с такой проблемой. Есть ли какие-нибудь пакеты / библиотеки (предпочтительно python), которые делают то, что я хочу? Какое ключевое слово мне нужно искать?

Что если бы я знал функцию $Y_0(x) > 0$ где $Y(x) > Y_0(x)$ . Каков наилучший способ реализации этих ограничений?

Если я вас правильно понимаю, вы хотите ошибиться в сторону переоценки. Если это так, вам нужна соответствующая асимметричная функция стоимости. Одним простым кандидатом является настройка квадрата потерь:

$\mathcal L: (x,\alpha) \to x^2 \left( \mathrm{sgn} x + \alpha \right)^2$

где - это параметр, который вы можете использовать, чтобы компенсировать штраф недооценки и переоценки. Положительные значения приводят к переоценке, поэтому вы должны установить отрицательным. В питоне это выглядит так$-1 < \alpha < 1$$\alpha$$\alpha$def loss(x, a): return x**2 * (numpy.sign(x) + a)**2

Далее давайте сгенерируем некоторые данные:

import numpy
x = numpy.arange(-10, 10, 0.1)
y = -0.1*x**2 + x + numpy.sin(x) + 0.1*numpy.random.randn(len(x))

Наконец, мы сделаем нашу регрессию в tensorflowбиблиотеке машинного обучения от Google, которая поддерживает автоматическое дифференцирование (упрощая оптимизацию таких задач на основе градиента). Я буду использовать этот пример в качестве отправной точки.

import tensorflow as tf

X = tf.placeholder("float") # create symbolic variables
Y = tf.placeholder("float") 

w = tf.Variable(0.0, name="coeff")
b = tf.Variable(0.0, name="offset")
y_model = tf.mul(X, w) + b

cost = tf.pow(y_model-Y, 2) # use sqr error for cost function
def acost(a): return tf.pow(y_model-Y, 2) * tf.pow(tf.sign(y_model-Y) + a, 2)

train_op = tf.train.AdamOptimizer().minimize(cost)
train_op2 = tf.train.AdamOptimizer().minimize(acost(-0.5))

sess = tf.Session()
init = tf.initialize_all_variables()
sess.run(init)

for i in range(100):
    for (xi, yi) in zip(x, y): 
#         sess.run(train_op, feed_dict={X: xi, Y: yi})
        sess.run(train_op2, feed_dict={X: xi, Y: yi})

print(sess.run(w), sess.run(b))

costявляется обычной квадратической ошибкой, в то время acostкак вышеупомянутая асимметричная функция потерь.

Если вы используете, costвы получаете

1.00764 -3.32445

Если вы используете, acostвы получаете

1.02604 -1.07742

acostявно старается не недооценивать. Я не проверял на конвергенцию, но вы поняли идею.

Выберите асимметричную функцию потерь. Одним из вариантов является квантильная регрессия (линейная, но с разными наклонами для положительных и отрицательных ошибок).