Диаграмма Вороного в графе

10

Пусть граф с (положительно) взвешенными ребрами. Я хочу определить диаграмму Вороного для набора узлов / сайтов S , чтобы связать с узлом v S подграф R ( v ) группы G, индуцированный всеми узлами строго ближе к v, чем к любому другому узлу в S , измеряя длина пути по сумме весов на дугах. R ( v ) является v «ы Вороной области . Например, зеленые узлы ниже находятся в R ( v 1 )GSvSR(v)GvSR(v)vR(v1)и желтые узлы находятся в . Я хотел бы понять структуру диаграммы Вороного. Для начала, как выглядит диаграмма двух сайтов v 1 и v 2 , т. Е. Как выглядит двухсекторный биссектрис (синий в приведенном выше примере)? Я думаю о биссектрисе B ( V 1 , V 2 ) в качестве дополнения к R ( v 1 ) R ( v 2 ) в G . Вот два конкретных вопроса:R(v2)
          введите описание изображения здесь
v1v2B(v1,v2)R(v1)R(v2)G

Q1. Связан ли биссектриса двух сайтов в каком-то смысле?

Q2. Является ли выпуклым в том смысле, что он содержит кратчайший путь между любыми двумя узлами в R ( v ) ?R(v)R(v)

Конечно, это было изучено ранее. Кто-нибудь может предоставить ссылки / указатели? Спасибо!


Приложение к комментарию Суреша:
          введите описание изображения здесь

Джозеф О'Рурк
источник
3
Для того, чтобы Q1 имел смысл, вам нужно какое-то чувство лица, верно? В противном случае «настоящий» биссектриса находится в середине ребер, и введение вершин непосредственно перед и после этой точки гарантирует, что биссектриса отключена. Может быть, если вы предполагаете, что график хордовый, вы можете что-то доказать. Что касается Q2: это неверно даже для геодезических в многоугольнике с отверстиями (или ландшафтами). Я предполагаю, что вам нужно предположить что-то довольно сильное на графике, чтобы получить нетривиальный ответ на оба вопроса.
Сариэль Хар-Пелед
1
Спасибо, Сариэль, за эти наблюдения. Да, похоже, я очень на это надеялся, и, возможно, только в специальных классах графов будут хорошие структурные свойства.
Джозеф О'Рурк
1
ну, так что в обычной сфере ячейка вороной не может стать больше, чем полушарие, поэтому у вас нет этой проблемы. Но мой комментарий в целом был таким же, как и у Сариэля, в том, что вы просите выпуклость клеток вороного в потенциально родовом римановом многообразии, и это не должно быть правдой.
Суреш Венкат
2
SSK2,n
1
Так что теперь я думаю, может быть, здесь есть интересный вопрос. Что, если основная метрика является многообразием (как предполагает Суреш). Теперь мы соединяем две точки тогда и только тогда, когда существует третья точка q, так что две другие точки являются двумя ближайшими соседями (представьте, что это своего рода комплекс свидетелей). Естественная гипотеза состояла бы в том, что, если многообразие удваивается, то всегда можно добавить O (1) точек так, что биссектриса связна. Хммм ...
Сариэль Хар-Пелед

Ответы:

8

Мелхорн, К .: Алгоритм более быстрого приближения для задачи Штейнера в графах. Письма Обработки Информации 27, 125–128 (1988)

Эрвиг, М .: График Вороного, диаграмма с приложениями. Сети 36 (3), 156–163 (2000)

обе ссылки скопированы с

Мэтью Т. Дикерсон, Майкл Т. Гудрич, Томас Д. Дикерсон, Ин Дэйзи Чжуо: круговые диаграммы Вороного и удвоение плотности в географических сетях. Труды по вычислительной науке 14: 211-238 (2011)

Дэвид Эппштейн
источник
Это займет некоторое копание, но на первый взгляд кажется, что многие структурные свойства диаграммы не были определены в этих статьях (возможно, потому что есть несколько свойств, которые следует отметить!).
Джозеф О'Рурк
на самом деле мало что известно; у нас есть другая лемма или две в sommer.jp/voronoi.htm
Кристиан Соммер