Ограничение записей унитарных операторов действительными числами и универсальными наборами ворот

10

В Бернштейн и Вазираньте в основополагающей работе «Квантовая теория сложности», они показывают , что - мерное унитарное преобразование может быть эффективно аппроксимировать продукт того , что они называют «рядом с тривиальными севооборотами» и «почти тривиальные фазовыми сдвиги».d

«Почти тривиальные вращения» представляют собой одномерные матрицы которые действуют как единое целое во всех измерениях, кроме двух, но действуют как вращение в плоскости, охватываемой этими двумя измерениями (то есть имеет подматрицу 2x2 в форме:d

(cosθsinθsinθcosθ)

для некоторых ).θ

«Почти тривиальные фазовые сдвиги» - это одномерные унитарные мерные матрицы, которые действуют как тождество во всех измерениях, кроме 1, но применяют коэффициент для некоторого к этому одному измерению.deiθθ

Кроме того, они показывают, что необходим только один угол поворота (как для унитарного поворота, так и для сдвига фазы), учитывая, что угол кратен (BV устанавливает угол .2π2πj=122j

В последующих работах по квантовой теории сложности (например, Adleman et al. Или Fortnow and Rogers) утверждается, что результат BV подразумевает, что универсальные квантовые вычисления могут быть выполнены с помощью унитарных операторов, чьи записи находятся в .R

Как это следует? Я могу понять, что произведение почти тривиальных матриц вращения даст вам унитарную матрицу с действительными элементами, но как насчет матриц фазового сдвига?

То есть: если вы можете выполнять только почти тривиальные повороты и матрицы фазового сдвига, где элементы матрицы равны , можем ли мы эффективно аппроксимировать все другие матрицы фазового сдвига?0,±1

Я подозреваю, что это подразумевается не сразу, и правильное доказательство для него будет напоминать доказательство универсальности Тойфоли-подобных ворот Дойча - или я упускаю что-то очень очевидное?

Генри Юн
источник

Ответы:

13

Существует простое доказательство того, что Тофоли и Адамар являются квантовым универсалом Дорита Ааронова, который сначала показывает, как сложные амплитуды могут быть смоделированы реальными амплитудами в большем гильбертовом пространстве с еще одним кубитом.

«Это делается путем добавления одного дополнительного кубита к схеме, состояние которого указывает, находится ли состояние системы в действительной или мнимой части гильбертова пространства, и заменой каждого комплексного вентиля работающего на k кубитах, его реальной версией , обозначенной ˜ U , который работает с теми же k кубитами плюс дополнительный кубит. ˜ U определяется как:UКU~КU~

~ U | я| 1=-[Iм(U)| я]| 0+[U~|я|0знак равно[ре(U)|я]|0+[ям(U)|я]|1
"U~|я|1знак равно-[ям(U)|я]|0+[ре(U)|я]|1

Во-вторых, она доказывает универсальность множества ворот {Адамара, Тоффоли}, которое имеет только реальные амплитуды .{0,1,±12}

Мартин Шварц
источник
Спасибо Мартин! Однако мне кажется, что метод Ааронова для замены сложных унитарных единиц на настоящие унитарные не совпадает с тем, что рассматривал Adleman / BV (поскольку я не могу найти доказательств того, что они думали так). Но результат Ахаранова интересен и очень хорош.
Генри Юн
1
Я вполне уверен, что Adleman / BV использовал конструкцию, которая удваивала количество кубитов, а не просто добавляла один, но работала аналогично.
Питер Шор
@Peter: конструкция Рудольфа и Гровера работает таким образом, используя два ребита для кодирования одного кубита: quant-ph / 0210187.
Джо Фицсимонс
9

В дополнение к статье, на которую указал Мартин, была более ранняя статья Терри Рудольфа и Лов Гровер, показывающая, что двухбитный вентиль универсален для квантовых вычислений (см. Quant-ph / 0210187 ). В воротах есть все реальные входы, и в случае, если вы не знаете, ребиты - это кубиты, где амплитуды ограничены действительными числами. Это может быть источником претензии. Затвор, о котором идет речь, описан в статье и представляет собой управляемое вращение Y.

г(θ)знак равноY2(θ2)СZ12Y2(θ2)СZ12

Джо Фитцсимонс
источник