Хорошо известно, что если вы бросите n шаров в n корзин, то в самой загруженной корзине, скорее всего, будет шариков. В общем, можно спросить о шарах в корзинах. В статье из RANDOM 1998, опубликованной Раабом и Стегером, это подробно рассматривается, показывая, что с ростом вероятность того, что даже немного превысит ожидаемое значение быстро уменьшится. Грубо говоря, установив , они показывают, что вероятность увидеть больше, чем составляет .
Эта статья появилась в 1998 году, и я не нашел ничего более свежего. Есть ли новые и даже более концентрированные результаты в этом направлении, или есть эвристические / формальные причины подозревать, что это лучшее, что можно получить? Я должен добавить, что в соответствующем документе по варианту с множественным выбором, написанном в соавторстве с Анжеликой Стегер в 2006 году, также нет ссылок на более поздние работы.
Обновление : в ответ на комментарий Питера, позвольте мне уточнить, что я хотел бы знать. У меня здесь две цели.
- Во-первых, мне нужно знать, какую ссылку цитировать, и кажется, что это самая последняя работа по этому вопросу.
- Во-вторых, это правда, что результат достаточно плотный в диапазоне r = 1. Меня интересует диапазон m >> n, в частности, область, где r может быть poly log n или даже n ^ c. Я пытаюсь вставить этот результат в лемму, которую я доказываю, и конкретное ограничение на r контролирует другие части общего алгоритма. Я думаю (но не уверен), что диапазон r, предоставленный в этой статье, может быть достаточным, но я просто хотел убедиться, что не было более жесткой границы (это дало бы лучший результат).
источник
Ответы:
Не совсем полный ответ (и не полезная ссылка), а просто расширенный комментарий. Для любого данного бина вероятность того, что в нем будет ровно шаров, будет определяться как . Мы можем использовать неравенство из-за Sondow, , чтобы получить , где . Обратите внимание, что эта граница довольно узкая, так как a .p B = ( мВ ((b+1)aпВ= ( мВ) ( 1N)В( n - 1N)м - б pB<((r+1)r+1( (б+1)аa) <( ( b + 1 )б + 1бб)a r=mпВ< ( ( r + 1 )г + 1рр)В( 1N)В( n - 1N)м - б ( (Ь+1)г = мВ- 1 ( (б+1)аa) >14 а б( ( б + 1 )б + 1бб)a
Таким образом, мы имеем . Теперь, так как вас интересует вероятность нахождения или более шаров в корзине, мы можем рассмотреть . Переставляя термины, мы получаем B p ≥ B = ∑ m b = B p b < Σ м б = В е б ( г + 1пВ< еB ( r + 1 ) ln( r + 1 ) - B r lnr−mlnn+(m−B)ln(n−1) B p ≥ B < e - m ln np≥B=∑mb=Bpb<∑mb=Beb(r+1)ln(r+1)−brlnr−mlnn+(m−b)ln(n−1)
Обратите внимание, что приведенное выше суммирование является просто геометрическим рядом, поэтому мы можем упростить его, чтобы получитьЕсли мы переписываем термины используя экспоненты, мы получаем который затем становится
Теперь, я так понимаю, вы заботитесь о том, чтобы найти некоторый такой, что для некоторой константы , поскольку это дает полную вероятность того, что любой бин, имеющий или более шаров, будет сверху . Этот критерий выполняется, если взять что может переписать какB p≥B<Cn C B C
Я не совсем уверен, насколько этот комментарий будет вам полезен (вполне возможно, что я где-то допустил ошибку), но, надеюсь, он может быть полезным.
источник